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$(1)證明：∵∠B=∠APD=90°，$

$∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=90°$

$∴∠BAP=∠DPC$

$在△BAP和△CPD中$

${{\begin{cases} {∠B=∠C } \\ {∠BAP=∠CPD } \\ {PA=PD} \end{cases}}}$

$∴△BAP≌△CPD(AAS)$

$∴BP=CD，AB=PC$

$∴BC=BP+PC=AB+CD$

$(2)（更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）$

$(1)解：∠ADE=30°$

$(2)解：(1)中的結(jié)論成立，理由如下：$

$∵∠BAC=120°，AB=AC$

$∴∠B=∠ACB=30°$

$∵∠ACM=∠ACB$

$∴∠B=∠ACM=30°$

$在△ABD和△ACE中$

${{\begin{cases} {{AB=AC}}\\ {∠ABC=∠ACE}\\ {BD=CD} \end{cases}}}$

$∴△ABD≌△ACE(SAS)$

$∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，$

$∴∠CAE+∠DAC$

$=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°$

$即∠DAE=120°.$

$∵AD=AE，$

$∴∠ADE=∠AED=30°.$

(3)（更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$(2)解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)D作$

$DF⊥BC于F$

$由（1）可知，EF=AE+DF$

$∵∠B=∠C=45°，AE⊥BC，DF⊥BC$

$∴∠B=∠BAE=45°，∠C=∠CDF=45°$

$∴BE=AE，CF=DF$

$AB=\sqrt{2}AE$

$CD=\sqrt{2}DF$

$∴BC=BE+EF+CF=2 （AE+DF）$

$∴\frac {AB+CD}{BC}=\frac {\sqrt{2}(AE+DF)}{2(AE+DF)}=\frac {\sqrt{2}}{2}$

$(3)解：∵AB=AC，AB=6$

$∴AC=6$

$∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD$

$∴△ADF∽△ACD$

$∴\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AD}$

$∴AD^2=AF·AC$

$∴AD^2=6AF$

$∴AF=\frac{A{D}^{2}}{6}$

$∴當(dāng)AD最短時，AF最短、CF最長$

$當(dāng)AD⊥BC時，AF最短、CF最長$

$此時AD=\frac{1}{2}AB=3$

$∴AF最短=\frac{A{D}^{2}}{6}=\frac{{3}^{2}}{6}=\frac{3}{2}$

$∴CF最長=AC-AF最短=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

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