$解：分兩種情況:$
$①1+\frac{3x}{m}\gt \frac{x}{m}+\frac{9}{m}$
$當(dāng)m＞0時(shí)，有m+3x＞x+9，2x＞9-m，所以x＞ \frac{9-m}{2}$
$因?yàn)閤+1＞\frac{x-2+m}{3}，所以3x+3＞x-2+m，所以x\gt \frac{m-5}{2}$
$當(dāng)\frac{9-m}{2}= \frac{m-5}{2} 時(shí)，解得m=7，符合題意$
$②1+\frac{3x}{m}\gt \frac{x}{m}+\frac{9}{m}$
$當(dāng)m＜0時(shí)，有m+3x＜x+9，2x＜9-m，所以x＜ \frac{9-m}{2}$
$x+1\gt \frac{x-2+m}{3}，所以3x+3＞x-2+m，所以x＞\frac{m-5}{2}$
$因?yàn)閤＞\frac{m-5}{2}與x\lt \frac{9-m}{2}的不等號(hào)方向相反，$
$所以當(dāng)m＜0時(shí)不存在符合條件的整數(shù)m的值.$
$綜上，存在整數(shù)m=7，使關(guān)于x的不等式1+ \frac{3x}{m} ＞ \frac{x}{m} + \frac{9}{m}$
$與關(guān)于x的不等式x+1\gt \frac{x-2+m}{3}的解集相同$
$此時(shí) \frac{9-m}{2} =1，所以關(guān)于x的不等式1+\frac{3x}{m}\gt \frac{x}{m}+\frac{9}{m}$
$與關(guān)于x的不等式x+1\gt \frac{x-2+m}{3}的解集都是x＞1$
