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第121頁(yè)

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$解：(2) 存在$

$∵S_{\text {四邊形 }\ \mathrm {A}\ \mathrm {B}\ \mathrm {O} P}=2S_{\triangle A O P}$

$∴3-m=2(-m)，∴m=-3$

$∴存在點(diǎn) P，S_{四邊形 A B O P} =2S_{\triangle A O P}\ $

$P(-3，\frac{1}{2})\ $

$(3)∵C(3，4)，∴O C=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

$當(dāng) O C=O P=5 時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (5，0) 或 (-5，0)\ $

$當(dāng) C O=C P 時(shí)，過(guò) C 作 C H \perp O P 于 H$

$∴O H=H P=3，∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (6，0)\ $

$當(dāng) P C=P O 時(shí)，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (t，0)$

$∴P C^{2}=(t-3)^{2}+4^{2}，∴t^{2}=(t-3)^{2}+ 4^{2}$

$解得 t=\frac{25}{6}，∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (\frac{25}{6}，0)$

$綜上，點(diǎn) P 的坐標(biāo) 為 (5，0) 或 (-5，0) 或 (6，0) 或(\frac{25}{6}，0)\ $

$解：(1) 作點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) A^{\prime}(2，-2)，連接 A^{\prime}\ \mathrm {B}\ $

$則汽車行駛過(guò)程中到 A 、 B 兩村距離之和最小為 A^{\prime}\ \mathrm {B} 的長(zhǎng)$

$延長(zhǎng) A^{\prime}\ \mathrm {A}，過(guò)點(diǎn) B 作 A^{\prime}\ \mathrm {A} 延長(zhǎng)線的垂線$

$垂足為 C，易得 C 點(diǎn) 坐標(biāo)為 (2，4)\ $

$∴A^{\prime}\ \mathrm {C}=6，B C=5$

$∴在 Rt \triangle B CA^{\prime} 中，A^{\prime}\ \mathrm {B}=\sqrt{A^{\prime}\ \mathrm {C}^{2}+B C^{2}}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}\ $

$答：汽車行駛過(guò)程中到 A 、 B 兩村距離之和最小為 \sqrt{61}\ $

$(2)如圖②，延長(zhǎng) BA，交 x 軸于點(diǎn) P$

$則此時(shí)汽車到 A 、 B 兩村距離之差最大，為 A B 的長(zhǎng)$

$過(guò)點(diǎn) A 作 x 軸的平行線，過(guò)點(diǎn) B 作 x 軸的垂線$

$兩線交點(diǎn)為 D，易得 D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (7，2)\ $

$∴A D=5，B D=2$

$∴在 Rt \triangle B DA 中，A B=\sqrt{B D^{2}+A D^{2}}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}\ $

$答：汽車行駛過(guò)程中到 A 、 B 兩村距離之差最大為 \sqrt{29}\ $

$解：(2) ∵d_{A B}=|4-2|+|2-3|=2+1=3$

$∴2d_{A B}=6$

$∵點(diǎn) C 在第三象限$

$∴m\lt 0， n\lt 0\ $

$∴d_{O C}=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|$

$=-m- n=-(m+n)\ $

$∵d_{0\ \mathrm {C}}=2d_{A B}$

$∴-(m+n)=6 ，即 m+n=-6$

$∴d_{A C}=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n$

$=5-(m+n)=5+6=11$

$d_{B C}=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n$

$=6-(m+n)=6+6=12$

$∵3+ 11 \neq 12，11+12 \neq 3，12+3 \neq 11$

$∴\triangle A B C 不是 “等距三角形”$

$(3)\ \mathrm {m} 的取值范圍是 m \geqslant 4且m≠8$

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