$解：(4)設(shè) x=n+a ，\ $
$其中 n 為 x 的整數(shù)部分 ( n 為非負(fù)整數(shù))$
$a 為 x 的小數(shù)部分 (0 \leqslant a\lt 1) .$
$分兩種情況：$
$①當(dāng) 0 \leqslant a\lt \frac{1}{2} 時(shí)， 有 \langle x\rangle=n$
$∵x+m=(n+m)+a\ $
$這時(shí) n+m 為 x+m 的整數(shù) 部分，$
$\ a 為 x+m 的小數(shù)部分$
$∴\langle x+m\rangle=n+m\ $
$又 ∵\(yùn)langle x\rangle+m= n+m$
$∴\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m\ $
$② 當(dāng) \frac{1}{2} \leqslant a\lt 1 時(shí)， 有 \langle x\rangle=n+1\ $
$∴x+m=(n+m)+a\ $
$這時(shí) n+m 為 x+m 的整數(shù)部分，$
$\ a 為 x+m 的小數(shù)部分$
$∴\langle x+m\rangle=n+m+1\ $
$又 ∵\(yùn)langle x\rangle+m=n+1+m= n+m+1$
$∴\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m\ $
$綜上所述， \langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m\ $
