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$證明：過(guò)點(diǎn) D 作 A F 的平行線交 B C 于點(diǎn) G$

$∴\angle E C F=\angle D G E$

$∴\angle D G B=\angle A C B$

$∵A B=A C$

$∴\angle A B C=\angle A C B$

$∴\angle A B C= \angle D G B，∴B D=D G$

$∵B D=C F，∴D G=C F\ $

$在 \triangle D G E 和 \triangle F C E 中$

$\begin{cases}{\angle E G D=\angle E C F}\\{\angle D E G=\angle F E C}\\{D G=F C}\end{cases}$

$∴\triangle D G E ≌ \triangle F C E(\mathrm{AAS})$

$∴D E=E F\ $

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$解：(1)PN=2BM，證明如下：$

$作PF//AC交BC于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)E$

$∵BD⊥AC，PF//AC$

$∴PF⊥BD，∠BPE=∠A=45°$

$∴∠BEP=90°$

$∴∠BPE=∠PBE=45°$

$∴BE=PE$

$∵PM⊥BC$

$∴∠PMB=∠PEN=90°$

$∵∠BNM=∠PNE$

$∴∠NPE=∠EBF$

$∵∠PEN=∠BEF=90°$

$∴△PEN≌△BEF(\mathrm {ASA})$

$∴PN=BF$

$∵AB=AC$

$∴∠ABC=∠C$

$∵∠PFB=∠C$

$∴PB=PF$

$∵PM⊥BF$

$∴BM=MF$

$∴PN=2BM$

$解：(2)畫(huà)出圖形如圖；$

$(1)中的結(jié)論成立，理由：$

$作PF//AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，$

$交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F$

$∵∠ABD=∠PBF=∠BPF=45°$

$∴BF=PF$

$∵∠EBF=∠EPM，$

$∠EFB=∠PFN=90°，BF=PF$

$∴△BFE≌△PFN(\mathrm {ASA})$

$∴PN=BE$

$∵∠E=∠C=∠ABC=∠PBE$

$∴PE=PB$

$∵PM⊥EB$

$∴EM=BM$

$∴PN=2BM$

$證明：過(guò)點(diǎn) C 作 C M // E F，交 A D 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M$

$∴\angle M=\angle E F D\ $

$∵D E=C D，\angle E D F=\angle C D M$

$在 \triangle E D F 和 \triangle C D M中$

$\begin{cases}{\angle EFD=\angle M}\\{\angle E D F=\angle C D M}\\{D E=DC}\end{cases}$

$∴\triangle E D F ≌ \triangle C D M(\mathrm{AAS})$

$∴E F=C M\ $

$∵E F=A C$

$∴A C=C M$

$∴\triangle A C M 為等腰三角形$

$∴\angle DA C=\angle M\ $

$又∵A D 平分 \angle BA C$

$∴\angle BA D=\angle DA C$

$∴\angle E F D=\angle BA D$

$∴E F//A B\ $

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