解：?$(1)$?當(dāng)點(diǎn)?$P$?在?$BC$?上時(shí)，即?$0≤t≤2，$??$AQ=t，BQ=4-t，BP=2t，PC=4-2t，$?
?$∵S_{△PDQ}=S_{正方形ABCD}-S_{△ADQ}-S_{△BPQ}-S_{△CPD}，$?
?$∴16-\frac {1}{2}?4?t-\frac {1}{2}?(4-t)?2t-\frac {1}{2}?4?(4-2t)=11，$?
整理得?$t^2-2t-3=0，$?解得?$t_1=-1，$??$t_2=3，$?都不合題意舍去；
當(dāng)點(diǎn)?$P$?在?$CD$?上時(shí)，即?$2＜t≤3，$?如圖，
?$AQ=t，DP=8-2t，$?
?$∵S_{△PDQ}=\frac {1}{2}BC?DP，$?
?$∴\frac {1}{2}?4(8-2t)=11，$?解得?$t=\frac {5}{4}($?不合題意舍去)，
∴不存在?$t$?的值，使?$△PQD$?的面積為?$11\ \mathrm {cm^2}$?
?$(2)$?存在.
①當(dāng)?$PD=DQ$?時(shí)，根據(jù)勾股定理，得
?$16+(4-2t)^2=16+t^2，$?
解得?$t_1=\frac {4}{3}，$??$t_2=4($?不符合題意，舍去).
②當(dāng)?$PD=PQ$?時(shí)，根據(jù)勾股定理，得
?$16+(4-2t)^2=(4-t)^2+(2t)^2，$?
整理得：?$t^2+8t-16=0$?
解得?$t_1=4\sqrt {2}-4，$??$t_2=-4\sqrt {2}-4($?不符合題意，舍去).
答：存在這樣的?$t=\frac {4}{3}$?秒或?$(4\sqrt {2}-4)$?秒，使得?$△PQD$?是以?$PD$?為一腰的等腰三角形.
?$∴(2t)^2+(4-t)^2=(4-2t)^2+4^2，$?
整理得?$t^2+8t-16=0，$?解得?$t_1=-4\sqrt {2}-4($?舍去)，?$t_2=4\sqrt {2}-4，$?
?$∴t=\frac {4}{3}(\mathrm {s})$?或?$4\sqrt {2}-4(\mathrm {s})$?時(shí)，?$△PQD$?是以?$PD$?為一腰的等腰三角形.
