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第118頁

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證明：?$(1)$?連結(jié)?$OD，$?如圖所示：


$∵∠DAO=60°，$$OD=OA，$
$∴△DOA$是等邊三角形，
$∴∠ODA=∠C=60°，$
$∴OD∥BC，$
又$∵∠DFC=90°，$
$∴∠ODF=90°，$
$∴OD⊥DF，$
即$DF$是$⊙O$的切線.
$(2)$設(shè)半徑為$r，$等邊$△ABC$的邊長為$a，$
由$(1)$可知：$AD=r，$則$CD=a-r，BE=a-2r$
在$Rt△CFD$中，$∠C=60°，$$CD=a-r，$
$∴CF=\frac {1}{2}(a-r)，$
$∴BF=a-\frac {1}{2}(a-r)，$
又$∵EF$是$⊙O$的切線，
$∴△FEB$是直角三角形，且$∠B=60°，$$∠EFB=30°，$
$∴BF=2BE，$
$∴a-\frac {1}{2}(a-r)=2(a-2r)，$
解得：$a=3r，$
即$r=\frac {1}{3}a，$
$∴⊙O$的半徑$r$與等邊$△ABC$的邊長$a$之間的數(shù)量關(guān)系為：$r=\frac {1}{3}a.$

解：?$(1) ∵ AB$?是?$⊙O$?的直徑， 
?$∴ ∠ACB=90°$?
?$∵ AD$?平分?$∠BAC，$?
?$∴ ∠BAC=2∠BAD. $?
?$∵ ∠BOD=2∠BAD，$?
?$∴ ∠BOD=∠BAC，$?
?$∴ OD//AC，$?
?$∴ ∠OEB=∠ACB=90°，$?
?$∴ ∠OEC=180°-∠OEB=90°$?
?$(2)$?連接?$BD.$?
設(shè)?$OA=OB=OD=r，$?
則?$OE=r-4，$??$AB=2r. $?
?$∵ AB$?是?$⊙O$?的直徑，
?$∴∠ADB=90°，$? 
∴在?$Rt△ADB$?中，?$BD2=AB2-AD2.$?
由?$(1)，$?得?$∠OEB=90°，$? 
?$∴ ∠BED=180°-∠OEB=90°，$?
?$∴ BE2=OB2-OE2=BD2-DE2，$?
?$∴ BD2=AB2-AD2=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2，$?
?$∴ (2r)2-(2 \sqrt{35} )2=r2-(r-4)2+42.$?
整理，得?$r2-2r-35=0，$?
解得?$r=7$?或?$r=-5($?不合題意，舍去).
?$∴ AB=2r=14，$? 
?$∴ BD= \sqrt{AB2-AD2} = \sqrt{142-(2\sqrt{35})2} =2 \sqrt{14} . $?
?$∵ AF$?是?$⊙O$?的切線， 
?$∴ AF⊥AB. $?
?$∵ DG//AF，$?
?$∴ DG⊥AB. $?
?$∵ S_{△ABD}= \frac {1}{2}× AD×BD= \frac {1}{2}×AB×DG，$?
?$∴ DG=\frac {AD×BD}{AB} = \frac {2\sqrt{35}×2\sqrt{14}}{14} =2 \sqrt{10}$

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