證明?$：(1)$?如圖，連接?$OD，$?過點(diǎn)?$O$?作?$OM⊥BC$?于點(diǎn)?$M. $?
∵ 在等腰直角三角形?$ABC$?中，?$AC=BC，$??$O$?是?$AB$?的中點(diǎn)，
?$∴ CO$?平分?$∠ACB，CO⊥AB. $?
?$∵ ⊙O$?與?$AC$?相切于點(diǎn)?$D，$?
?$∴ OD⊥AC，$?
?$∴ OD=OM， $?
?$∴ BC$?是?$⊙O$?的切線
?$(2)$?如圖，過點(diǎn)?$O$?作?$OH⊥AG$?于點(diǎn)?$H. $?
?$∵ ∠ACB=90°，CO$?平分?$∠ACB， $?
?$∴ ∠ACO=45°.$?
?$∵ CO⊥AB，$?
?$∴ ∠CAO=45°=∠ACO， $?
?$∴ OA=OC. $?
∵ 在?$Rt△AOC$?中?$，OA2+OC2=AC2，AC=4 \sqrt{2} ，$?
?$∴ OA=4.$?
在?$Rt△ADO$?中，同理，可得?$OD=2 \sqrt{2} ，$?
?$∴ OG=OD=2 \sqrt{2} $?
?$∵ ∠AOG=180°-∠AOC=90°， $?
?$∴ AG= \sqrt{OA2+OG2} =2 \sqrt{6}$?
?$∵ AG×OH=OA×OG=2S_{△AOG}， $?
?$∴ OH= \frac {OA×OG}{AG} = \frac {4\sqrt{3}}{3} ，$?
∴ 在?$Rt△OHG $?中?$，GH= \sqrt{OG2-OH2} = \frac {2\sqrt{6}}{3} $?
?$∵ OH⊥AG，OH$?過圓心?$O，$?
?$∴ FG=2GH= \frac {4\sqrt{6}}{3}$
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