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第73頁

信息發(fā)布者：
?$\sqrt{5}-1$?
4
6
解：如圖，連接?$AC$?

?$ ∵CF⊥AE$?
?$ ∴∠AFC=90°$?
∴圖中出現(xiàn)了“定長?$(\mathrm {AC})$?對直角?$(∠AFC)”$?模型
∴點?$F$?的運動路徑為以?$AC$?為直徑的半圓.
當點?$E$?位于點?$B$?時，?$CO⊥AE，$?此時點?$F$?與點О重合；
當點?$E$?位于點?$D$?時，?$CA⊥AE，$?此時點?$F$?與點?$A$?重合
∴當點?$E$?從點?$B$?出發(fā)按順時針方向運動到點?$D$?時，點?$F$?所經(jīng)過的路徑長是?${\widehat{AO}}$?的長
連接?$AG，$?∵點?$G$?的坐標為?$(0，$??$1)$?
?$ ∴OG=1$?
?$ ∵AG=CG=2$?
∴在?$Rt△AOG $?中，?$AO=\sqrt {{2}^2-{1}^2}=\sqrt {3}$?
∴在?$Rt△AOC$?中，?$AC=\sqrt {{AO}^2+{OC}^2}=\sqrt {{(\sqrt {3})}^2+{(2+1)}^2}=2\sqrt {3}$?
取?$AC$?的中點?$H，$?連接?$OH，$?則在?$Rt△AOC$?中，?$OH=\frac 1 2AC=\sqrt {3}$?
?$ ∴AH=OH=AO=\sqrt {3}，$?即?$△AHO$?為等邊三角形
?$ ∴∠AHO=60°$?
?$ ∴{\widehat{AO}}$?的長為?$\frac {60π×\sqrt {3}}{180}=\frac {\sqrt {3}}3π$?
∴當點?$E$?從點?$B$?出發(fā)按順時針方向運動到點?$D$?時，點?$F$?所經(jīng)過的路徑長為?$\frac {\sqrt {3}}3π$?


B
解：?$ ∵\triangle A B C$?是等邊三角形，?$A B=6$?
?$ ∴A B=B C=A C=6， \angle A B D=\angle B C E=60°. $?
在?$ \triangle A B D$?和?$ \triangle B C E$?中，
?$ \{\begin{array}{l}A B=B C， \ \angle A B D=\angle B C E\ B D=C E\end{array}.$?
?$ ∴\triangle A B D ≌ \triangle B C E $?
?$ ∴\angle B A D=\angle C B E $?
?$ ∵\angle A F B$?是?$\triangle B D F $?的一個外角,
?$ ∴\angle A F B=\angle C B E+\angle A D B=\angle B A D+\angle A D B $?
∵在?$\triangle A B D $?中?$， \angle B A D+\angle A D B=180°-\angle A B D=120°$?
?$ ∴\angle A F B=120°$?
∴點?$ F$?的運動路徑是以點?$ O$?為圓心的如圖所示的?$ {\widehat{AB}}，$?
且?$\angle A O B=2(180°-\angle A F B)=120° $?
連接?$O A 、$??$ O B 、$??$ O C 、$??$ O F，$?

?$ ∵O A=O B， A C=B C， O C=O C$?
?$ ∴\triangle A O C ≌ \triangle B O C $?
?$ ∴\angle O A C=\angle O B C， \angle A C O=\angle B C O=30° $?
∵四邊形?$ O B C A$?的內(nèi)角和為?$ 360°， \angle A O B+\angle A C B=$?
?$ 120°+60°=180°，$?
?$ ∴\angle O B C=90°$?
∴在?$ Rt \triangle O B C$?中，?$O B=\frac {1}{2}\ \mathrm {O} C. $?
由勾股定理, 得?$ O B^2+B C^2=O C^2， $?即?$O B^2+6^2=(2\ \mathrm {O} B)^2$?
解得，?$O B=2 \sqrt{3}($?負值舍去),
此時?$ O F=O B=2 \sqrt{3}， O C=2\ \mathrm {O} B=4 \sqrt{3}.$?
∵點?$ F $?在?$ {\widehat{AB}}$?上運動, 總有?$ C F \geqslant O C-O F， $?即?$ C F \geqslant 2 \sqrt{3}， $?
∴當?$ O 、$??$ F 、$??$ C$?三點共線時，線段?$C F$?長的值最小，最小值為?$2 \sqrt{3}$

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