$解:(1)連接AD，交x軸于點(diǎn)E.$
$∵D(1,-2)，∴OE=1，ED=2.$
$∵四邊形AODC是菱形，$
$∴AE=DE=2，∴A(1,2).$
$將A(1,2)代入直線y=mx+1可得m+1=2，$
$解得m=1.$
$將A(1,2)代入反比例函數(shù)y= \frac{k}{x} ，$
$可得k=2.$
$(2)∵當(dāng)x=1時(shí)，反比例函數(shù)的值為2，$
$∴當(dāng)反比例函數(shù)圖像在A點(diǎn)下方時(shí)，$
$對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于2，此時(shí)x的取值范圍$
$是x＜0或x＞1.$
$(3)∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，$
$∴S_{菱形OACD} =\frac{1}{2}OC·AD=4.\ $
$∵S_{△OAP} =S_{菱形OACD} ，∴S_{△OAP}\ =4.$
$設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,y)，則OP=|y|，$
$∴\frac{1}{2}×|y|×1=4，即|y|=8，$
$解得y=8或y=-8，$
$∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,8)或(0,-8).$
