$ \begin{aligned}解:原式&=\frac{(a-3)2}{a-2}÷[\frac {(2+a)(2-a)}{2-a}+\frac {5}{2-a} ] \\ &=\frac{(a-3)2}{a-2}÷\frac{4-a2+5}{2-a} \\ &= \frac{(a-3)2}{a-2}· \frac{2-a}{(3+a)(3-a)}\ \\ &=\frac{a-3}{a+3}, \\ \end{aligned}$
$解不等式\frac{a-1}{2}≤1得a≤3,$
$∵a為正整數(shù),$
$∴a=1,2,3.$
$∵要使分式有意義,則a-2≠0,$
$∴a=2.$
$∵當a=3時,$
$a+2+\frac {5}{2-a}=3+2+\frac{5}{2-3}=0,$
$∴a≠3,$
$∴a=1.$
$把a=1代入得原式=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}.$