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$解:(1)將點(diǎn)A(3,1)，B(-1,n )代入y=\frac{m}{x}，$

$得\begin{cases}{ 1=\frac {m}{3}, }\ \\ {n=\frac {m}{-1},\ } \end{cases} 解得\begin{cases}{ m=3, }\ \\ {n=-3,\ } \end{cases}\ $

$∴點(diǎn)B(-1,-3)，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=\frac{3}{x}.$

$將點(diǎn)A(3,1)，B(-1,-3)代入y=kx+b.$

$得\begin{cases}{ 1=3k+b, }\ \\ { -3=-k+b, } \end{cases} 解得\begin{cases}{ k=1, }\ \\ { b=-2, } \end{cases}\ $

$∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x-2.\ $

$(2)存在.將x=0代入y=x-2，得y=-2，$

$∴C(0,-2)，∴OC=2.$

$若四邊形OCNM是平行四邊形，則MN//OC，$

$且MN=OC=2，設(shè)M(t,\frac{3}{t})，N(t,t-2)，$

$則M=y_{m} -y_{n} =\frac{3}{t}-(t-2)=2，$

$解得t=±\sqrt {3} .\ $

$∴M(\sqrt {3} ,\sqrt {3} )或(-\sqrt {3} , -\sqrt{3}).$

$解:由CD=4，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4，$

$當(dāng)x=-4時，y=-\frac{3}{2}× (-4)-2=4，$

$∴點(diǎn)C(-4,4).$

$又∵點(diǎn)C(-4,4)在反比例函數(shù)y=\frac{m}{x}的圖像上，$

$∴m=-4×4=-16，$

$∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-\frac{16}{x}.$

$解:∵直線y=-\frac {3}{2}x-2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，$

$∴點(diǎn)A(-\frac{4}{3}, 0) ，點(diǎn)B(0,-2)，$

$即OA=\frac{4}{3}，OB=2，$

$∴S_{△AOB} =\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×2=\frac{4}{3}.$

$設(shè)Q(x,-\frac{16}{x}).$

$由于△QOB的面積是△AOB的面積的4倍，$

$∴△QOB的面積為\frac{4}{3}×4=\frac{16}{3}，$

$即\frac {1}{2}OB×|x|=\frac{16}{3}.$

$解得x=±\frac{16}{3}，$

$當(dāng)x=\frac{16}{3}時，$

$y=-16×\frac{3}{16}=-3；$

$當(dāng)x=-\frac{16}{3}時，$

$y=-16x(-\frac{3}{16})=3，$

$∴點(diǎn)Q(\frac{16}{3}，-3))或(-\frac{16}{3},3). $

$解:如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，$

$則 ∠AEC=∠CDB=90°.$

$∵點(diǎn)C(3,0)，B(6,m)，$

$∴OC=3，OD=6，BD=m，$

$∴CD=OD-OC=3.$

$∵△ABC是等腰直角三角形，$

$∴∠ACB=90°，AC=BC.$

$∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，$

$∴∠ACE=∠CBD，$

$∴△ACE≌△CBD(AAS)，$

$∴CD=AE=3，BD=EC=m，$

$∴OE=OC-EC=3-m，$

$∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3-m,3).$

$∵點(diǎn)A、B(6,m)恰好落在反比例函數(shù)y=\frac{k}{x}第一象限的圖像上.\ $

$∴3(3-m)=6m，解得m=1，$

$∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,1)，$

$∴k=6m=6，$

$∴反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=\frac{6}{x}，$

$設(shè)直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q，$

$把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，$

$\begin{cases}{ 2p+q=3, }\ \\ { 6p+q=1, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ p=-\frac {1}{2}, }\ \\ { q=4, } \end{cases}\ $

$∴直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為$

$y=-\frac {1}{2}x+4.$

$解:如圖，延長AE至點(diǎn)A第一行，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，$

$∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于x軸對稱，$

$∴AP=A'P，A'(2,-3).$

$∵AP+PB=A'P+PB=A'B，$

$∴AP+PB的最小值是A'B的長度，$

$∴此時△ABP的周長為AP+PB+AB=AB+A'B最小，$

$設(shè)直線A'B的表達(dá)式是y=nx+t，$

$則\begin{cases}{ 2n+t=-3, }\ \\ { 6n+t=1, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ n=1, }\ \\ {t=-5,\ } \end{cases}\ $

$∴直線A'B的表達(dá)式是y=x-5，$

$當(dāng)y=0時，0=x-5，解得x=5，$

$即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,0)，$

$故當(dāng)△ABP周長取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0). $

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