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A

B

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B

8cm

$\frac{ab}{2^{n} } $

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$解:DM⊥BE，DM=BE.證明如下:$

$設(shè)BE與DM交于點O，BE與AD 交于點P，$

$∵四邊形ABCD、AEFM都是正方形，$

$∴AM=AE，AD=AB，∠MAE=∠DAB=90°，$

$∴∠MAD=∠EAB.$

$在△MAD和△EAB中，$

$\begin{cases}{\ AM=AE, }\ \\ {\ ∠MAD=∠EAB, } \\{AD=AB,}\end{cases}\ $

$∴AMD≌△EAB(SAS)，$

$∴DM=BE， ∠ABE=∠ADM.$

$∵∠APB=∠EPD，$

$∴∠DOP=∠BAP=90°，即DM⊥BE. $

$解:四邊形GHQN是正方形，理由如下:$

$順次連接DE、EM、MB、BD的中點G、H、Q、N，$

$∵G、H分別是DE、EM的中點，$

$∴GH//DM且GH=\frac{1}{2}DM，$

$同理可得QN//DM且QN=\frac{1}{2}DM，$

$HQ//BE且HQ=\frac{1}{2}BE，$

$∴GH//QN且GH=QN，$

$∴四邊形GHQN為平行四邊形.$

$∵DM⊥BE，DM=BE，$

$∴GH⊥HQ且GH=HQ，$

$∴平行四邊形GHQN是正方形.$

$解:如圖，連接EF、FG、GH、EH.$

$∵E、H分別是AB、DA的中點，$

$∴EH是△ABD的中位線，$

$∴EH=\frac{1}{2} BD=3.$

$同理可得EF、FG、 GH分別是△ABC、△BCD、△ACD的中位線，$

$∴EF=GH=\frac{1}{2} AC=3，$

$FG=EH=\frac{1}{2}BD=3，$

$∴EH=EF=GH=FG=3，$

$∴四邊形EFGH為菱形，$

$∴EG⊥HF.$

$設(shè)EG與HF的交點為O，$

$∴EG=2OE，F(xiàn)H=2OH.$

$在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得$

$OE^{2} +OH^{2} =EH^{2} =9，$

$等式兩邊同時乘4得$

$4OE2+40H2=9×4=36，$

$∴(2OE)2+(2OH)2=36，$

$即EG^{2} +FH^{2} =36.$

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