$解:如圖①，連接BD，取BD的中點H，連接HE、FH.$
$∵E、H分別是AD、 BD的中點，$
$∴EH//AB，EH=\frac{1}{2}AB，\ $
$∴∠BME=∠HEF.$
$∵F、H分別是BC、BD的中點，$
$∴FH//CD，F(xiàn)H=\frac {1}{2}CD，$
$∴ ∠CNE=∠HFE.$
$∵AB=CD，$
$∴HE=FH，$
$∴∠HEF=∠HFE，$
$∴∠BME=∠CNE.\ $
$問題一:△OMN為等腰三角形.\ $
$問題二:△AGD是直角三角形.\ $
$證明:如圖③，連接BD，取BD的中點H，連接HF、HE.$
$∵F是AD的中點，$
$∴HF//AB，HF=\frac{1}{2} AB.$
$同理，HE//CD，HE=\frac{1}{2} CD.$
$∵AB=CD，$
$∴HF=HE.$
$∵∠EFC=60°，$
$∴∠HEF=60°，$
$∴∠HEF=∠HFE=60°，$
$∴△EHF是等邊三角形，$
$∴∠3=∠HFE=∠EFC=∠AFG=60°，$
$∴△AGF是等邊三角形.$
$∵AF=FD，$
$∴GF=FD，$
$∴∠FGD=∠FDG=30°，$
$∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形.$
$問題三:如圖④，連接BD，取BD的中點H，連接EH、HF，$
$∵E、F分別是AD、BC的中點，$
$∴EH//AB，EH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}，$
$HF//CD，HF=\frac{1}{2}CD=6，$
$∴ ∠HEF=∠BMF，∠HFE=∠CNF.$
$又∵ EF=\frac{13}{2} ，$
$∴EF2=\frac{169}{4}.$
$∵ EH2=\frac{25}{4}，HF2=36，$
$EH2+HF2=\frac{169}{4}，$
$∴EF2=EH2+HF2，$
$∴△EHF是直角三角形，$
$∴∠EHF=90°，$
$∴ ∠HEF+∠HFE=90°，$
$∴∠BMF+∠CNF=90°.$
