$證明:(1)連接BD交 C于點(diǎn)O.$
$∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，$
$OD=OB=OA=OC.∵AE=CF，$
$∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.$
$∴四邊形BEDF為平行四邊形.$
$又∵BD⊥EF，∴四邊形BEDF是菱形.$
$解:(2)由(1)得，四邊形BEDF為菱形，$
$∴DE=DF=BE=BF.∵AC=BD= 4，$
$∴OA=OC=OD=OB=2，$
$OE=OF=\frac{4-2}{2}=1.$
$在Rt△DOE中，由勾股定理得$
$DE= \sqrt{OD2+OE2}= \sqrt{22+12}=\sqrt {5} ，$
$∴菱形BEDF的周長(zhǎng)=4DE=4× \sqrt{5}=4\sqrt {5} .$
