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證明：??$(1) $??∵??$A F=C E$??
∴??$A E=A F-E F=C E-E F= C F$??
∵??$A B / / C D$??
∴??$\angle G A E=\angle H C F $??
又 ∵??$A G=C H$??
∴??$\triangle G A E ≌ \triangle H C F$??
∴??$\angle G E A=\angle H F C $??
∴??$\angle G E O=\angle H F O$??
∴??$E G / / F H $??
??$ (2) $??連接??$ G F 、$????$ H E$??
∵??$\triangle G A E ≌\triangle H C F$??
∴??$E G=F H $??
又 ∵??$E G / / F H$??
∴四邊形??$ G F H E $??為平行四邊形
∴??$G H 、$????$ E F $??互相平分
解：由折疊的性質(zhì)可得，??$∠EBD=∠DBC$??
∵??$AD//BC $??
∴??$∠EBD=∠EDB，$??即??$DE=BE$??
在??$Rt△ABE$??中，??$AE^2+AB^2=BE^2，$??即??$AE^2+4^2=(8-AE)^2$??
∴??$AE=3，$????$BE=5$??
∴??$S_{△BED}=\frac 12×5×4=10$??
??$(1) $??證明：如圖， ∵??$E D $??是??$ B C $??的垂直平分線
∴??$E B=E C $??
∴??$\angle 3=\angle 4$??
∵??$\angle A C B=90° ，ED⊥BC，$
$∴ED是△BAC的中位線，即CE是Rt△ACB的中線，$
$∴EC=EA，??$
∴??$\angle 1=\angle 2 $??
∴??$A E=C E $??
又 ∵??$A F=C E $??
∴??$\angle F=\angle 5$??
∵??$F D \perp B C ，$????$ A C \perp B C $??
∴??$\angle 1=\angle 5$??
∴??$\angle 1=\angle 2=\angle F=\angle 5 $??
∴??$\angle A E C=\angle E A F$??
∴??$A F / / C E$??
∴四邊形??$ A C E F $??是平行四邊形
??$ (2)$??解：當(dāng)??$ \angle B=30° $??時， 四邊形??$ A C E F $??是菱形
證明： ∵??$\angle B=30°，$????$ \angle A C B=90°$??
∴??$\angle 1=\angle 2=60°$??
∴??$\angle A E C=60°$??
∴??$A C=E C$??
∴平行四邊形??$ A C E F $??是菱形
??$ (3) $??四邊形??$ A C E F $??不可能是矩形，理由如下：
由??$ (1) $??可知，??$ \angle 2 $??與??$ \angle 4 $??互余，??$ \angle 4 \neq 0°$??
∴??$\angle 2 \neq 90°$??
∴四邊形??$ A C E F $??不可能是矩形
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