證明：?$ (1)$?因?yàn)樗倪呅?$ABCD$?是正方形
所以?$AD=CD，$??$ ∠A=∠ADC=∠BCD=90°$?
所以?$∠ADP+∠PDC=90°$?
因?yàn)?$∠PDC+∠CDQ=90°$?
所以?$∠ADP=∠CDQ$?
在?$△ADP $?和?$△CDQ $?中
?$\begin {cases}{∠ADP=∠CDQ }\\{AD=CD} \\{∠A=∠DCQ} \end {cases}$?
所以?$△ADP≌△CDQ(\mathrm {ASA})$?
所以?$DP=DQ$?
?$(2)$?猜想?$PE=QE$?
因?yàn)?$DE$?平分?$∠PDQ$?
所以?$∠PDE=∠EDQ=45°$?
在?$△PDE$?和?$△QDE$?中
?$\begin {cases}{PD=QD }\\{∠PDE=∠QDE} \\{DE=DE} \end {cases}$?
所以?$△PDE≌△QDE(\mathrm {SAS})$?
所以?$PE=QE$?
?$(3)$?因?yàn)?$AB：$??$ AP=3：$??$4，$??$ AB=6$?
所以?$AP=8，$??$BP=2$?
由?$(1)$?可知?$AP=CQ$?
所以設(shè)?$CE=a，$??$EQ=8-a$?
由?$(2)$?可知?$PE=EQ$?
所以?$PE=8-a$?
在直角三角形?$BPE$?中
?$BP2+ BE2= PE2$?
所以?$22+(6+a)2=(8- a)2$?
所以?$a=\frac {6}{7}$?
?$EQ=\frac {50}{7}$?
所以?$S_{△DEP} =\frac {1}{2}\ \mathrm {EQ}×CD=\frac {150}{7}$?
