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第131頁

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解:四邊形?$ADEF$?是平行四邊形，理由如下
因為點?$D、$??$E$?是?$BC、$??$AC$?的中點
所以?$DE$?是?$△ABC$?的中位線
所以?$DE//AB，$??$DE=\frac {1}{2}AB$?
因為?$AF=\frac {1}{2}AB$?
所以?$AF=DE$?
因為?$DE//AB$?
所以四邊形?$ADEF$?是平行四邊形

 證明?$： (1) $?∵?$D E / / A C， C E / / B D ，$?
 ∴  四邊形?$ O C E D $?是平行四邊形.
 ∵  矩形?$ A B C D $?的對角線?$ A C， B D $?相交于點?$ O ，$?
∴?$A C=B D, O C=\frac{1}{2} A C, O D=\frac{1}{2} B D \text {, }$?
 ∴?$O C=O D， $?∴  四邊形?$ O C E D $?是菱形.
?$(2) $?∵  四邊形?$ A B C D $?是矩形?$， B C=3， D C=2 ，$?
 ∴?$O A=O B=O C=O D, S_{\text {矩形 } A B C D}=3 ×2=6 ,$?
 ∴?$S_{\triangle O C D}=\frac{1}{4} S_{\text {矩形 } A B C D}=\frac{1}{4} ×6=1.5 .$?
 ∵  四邊形?$ O C E D $?是菱形,
 ∴  菱形?$ O C E D $?的面積?$ =2\ \mathrm {S}_{\triangle O C D}=2 ×1.5=3 .$?

證明?$：(1) $?∵  四邊形?$ A B C D $?是正方形,
∴?$∠A B C=∠A D C=90°， ∠D B C=∠B C A=∠A C D=45°，$?
 ∵?$C E $?平分?$ ∠D C A ，$?
∴?$∠A C E=∠D C E=\frac {1}{2} ∠A C D=22.5°， $?
∴?$∠B C E=∠B C A+∠A C E=45°+22.5°=67.5° $?
∵?$∠D B C=45°， $?
∴?$∠B E C=180°-67.5°-45°=67.5°， $?
∴?$∠B E C=∠B C E $?
∴?$B E=B C=1；$?
在?$ Rt \triangle B C D $?中, 由勾股定理得：?$BD=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt 2， $?
∴?$D E=B D-B E=\sqrt 2-1 ；$?
 ∵?$F E \perp C E ，$?
∴?$∠C E F=90°， $?
∴?$∠F E B=∠C E F-∠C E B=90°-67.5°=22.5°=∠D C E $?
∵?$∠F B E=∠C D E=45°， B E=B C=C D， $?
∴?$\triangle F E B \cong \triangle E C D， $?
∴?$B F=D E=\sqrt 2-1；$?
∴?$AF=AB-BF=1-(\sqrt 2-1)=2-\sqrt 2.$?
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