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證明：連接?$EG、$??$EH、$??$FG、$??$FH，$?
∵?$E$?為?$AD$?的中點(diǎn)，?$H$?為?$AC$?的中點(diǎn)，
∴?$EH∥CD，$??$EH=\frac {1}{2}CD，$?
同理，?$GF∥CD，$??$GF=\frac {1}{2}CD，$?
∴?$EH∥GF，$??$EH=GF，$?
∴四邊形?$EGFH$?為平行四邊形，
∴?$EF$?與?$GH$?互相平分.

解:因?yàn)?$CD=CA$?
所以?$△ACD$?為等腰三角形
因?yàn)?$CF $?平分?$∠ACB$?
所以點(diǎn)?$F $?為?$AD$?的中點(diǎn)
因?yàn)?$AE=BE$?
所以點(diǎn)?$E$?是?$AB$?的中點(diǎn)
所以?$EF$?是?$△ABD$?的中位線
所以?$EF=\frac {1}{2}BD$?
因?yàn)?$AC=6\ \mathrm {cm}，$??$ BC= 10\ \mathrm {cm}$?
所以?$BD=BC-AC=4\ \mathrm {cm}$?
所以?$EF=2\ \mathrm {cm}$
?
證明：?$(1)$?∵四邊形?$ABCD$?是平行四邊形，
∴?$AB//CD，$?
∴?$∠GAE=∠HCF，$?
∵點(diǎn)?$G，$??$H$?分別是?$AB，$??$CD$?的中點(diǎn)，
∴?$AG=CH，$?
∵?$AE=CF，$?
∴?$△AGE≌△CHF(\mathrm {SAS})，$?
∴?$GE=HF，$??$∠AEG=∠CFH，$?
∴?$∠GEF=∠HFE，$?
∴?$GE//HF，$?
又∵?$GE=HF，$?
∴四邊形?$EGFH$?是平行四邊形．
?$(2)$?連接?$BD$?交?$AC$?于點(diǎn)?$O，$?
∵四邊形?$ABCD$?是平行四邊形，
∴?$OA=OC，$??$OB=OD，$?
∵?$BD=14，$?
∴?$OB=OD=7，$?
∵?$AE=CF，$??$OA=OC，$?
∴?$OE=OF，$?
∵?$AE+CF=EF，$?
∴?$2AE=EF=2OE，$?
∴?$AE=OE，$?
又∵點(diǎn)?$G$?是?$AB$?的中點(diǎn)，
∴?$EG$?是?$△ABO$?的中位線，
∴?$EG=\frac {1}{2}OB=3.5．$?
∴?$EG $?的長為?$3.5$?

C
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