?$(1)$?證明：∵四邊形?$ABCD$?是正方形
∴?$∠B=90°，$??$AD//BC$?
∴?$∠PAF=∠AEB$?
∵?$PF⊥AE $?
∴?$∠AFP=∠B=90°$?
∵?$∠PAF=∠AEB$?
∴?$△PFA∽△ABE$?
?$(2)$?解：存在
∵點(diǎn)?$E$?是?$BC$?的中點(diǎn)
∴?$BE=\frac 12BC=2$?
∵四邊形?$ABCD$?是正方形
∴?$∠B=90°$?
∴?$AE=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$?
①當(dāng)?$△FPE∽△BAE$?時(shí)，?$∠EPF=∠EAB$?
∵?$△PFA∽△ABE $?
∴?$∠APF=∠EAB$?
∴?$∠APF=∠EPF$?
∵?$PF⊥AE $?
∴?$PF$?垂直平分?$AE$?
∴?$AF=\frac 12AE$?
∵?$△PFA∽△ABE$?
∴?$\frac {AP}{EA}=\frac {AF}{EB}，$?即?$\frac {x}{2\sqrt 5}=\frac {\sqrt 5}2$?
∴?$x=5$?
②當(dāng)?$△FEP∽△BAE$?時(shí)，?$∠PEF=∠EAB$?
∴?$AB//EP$?
∵點(diǎn)?$E$?是?$BC$?的中點(diǎn)
∴點(diǎn)?$P$?是?$AD$?的中點(diǎn)
∴?$x=\frac 12×4=2$?
綜上所述，?$x$?的值為?$5$?或?$2$?
