解：?$(1)$?由題意得?$CM=t m，$??$AN=2tm$?
∵?$∠C=90° $?
∴?$AB=\sqrt {BC^2+AC^2}=13m$?
∵?$∠AMN=∠ANM $?
∴?$AM=AN$?
∴當(dāng)?$t$?為?$4s$?時(shí)，?$∠AMN=∠ANM$?
?$(2)$?如圖，過點(diǎn)?$N$?作?$NH⊥AC$?于點(diǎn)?$H$?
∵?$∠AHN=∠C=90°$?
∴?$NH//BC$?
∴?$△ANH∽△ABC$?
∴?$\frac {AN}{AB}=\frac {NH}{BC}，$?即?$\frac {2t}{13}=\frac {NH}5$?
∴?$NH=\frac {10t}{13}m$?
∴?$S_{△AMN}=\frac 12×AM×NH=-\frac 5{13}(t-6)^2+\frac {180}{13}$?
當(dāng)?$t$?為?$6s$?時(shí)，?$△AMN$?的面積最大，最大為?$\frac {180}{13}\mathrm {m^2}$?
