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?$\sqrt 2：$??$1$?

①④⑤

解：?$(1)$?∵?$∠1=∠2，$??$∠G=∠I=90°$?

∴?$△FGH∽△JIH$?

∴?$\frac {FH}{JH}=\frac {FG}{JI}=\frac {HG}{HI}$?

即?$\frac 5y=\frac 36=\frac x 8，$?解得?$x=4，$??$y=10$?

?$(2)$?∵?$∠KHF=∠GHI=90°$?

∴?$∠GHF+∠GHK=∠JHK+∠GHK=90°$?

∴?$∠GHF=∠JHK$?

?$\frac {GH}{KH}=\frac {48}{32}=\frac 32，$??$\frac {FH}{JH}=\frac {72}{48}=\frac 32$?

∴?$\frac {GH}{KH}=\frac {FH}{JH}$?

∴?$△GHF∽△KHJ$?

∴?$∠K=∠G=124°，$?即?$x=124$?

?$\frac {GH}{KH}=\frac {GF}{KJ}，$?即?$\frac y{22}=\frac 32，$?解得?$y=33$?

解：∵?$∠CDA=∠BDC=90°，$??$\frac {AD}{CD}=\frac {CD}{BD}$?

∴?$△CDA∽△BDC$?

∴?$∠A=∠DCB$?

又∵?$∠A+∠ACD=90°$?

∴?$∠DCB+∠ACD=90°，$?即?$∠ACB=90°$?

證明：連接?$AC、$??$BD$?

∵?$∠A$?與?$∠D$?對應弧相等

∴?$∠A=∠D$?

∵?$∠APC=∠DPB$?

∴?$△APC∽△DPB$?

∴?$\frac {CP}{BP}=\frac {AP}{DP}$?

∵?$AB$?是直徑且?$CD⊥AB$?

∴?$CP=DP$?

∴?$PC^2=PA ·PB$?

解：①當?$△ABP∽△PCE$?時

?$\frac {PB}{PC}=\frac {BP}{CE}，$?即?$\frac {BC}{PC}=\frac {BC-PC}{\frac 14BC}$?

解得?$PC=\frac 12BC$?

②當?$△ABP∽△ECP$?時

?$\frac {AB}{EC}=\frac {BP}{CP}，$?即?$\frac {BC}{\frac 14BC}=\frac {BC-PC}{PC}$?

解得?$PC=\frac 15BC$?

綜上所述，當?$PC=\frac 12BC$?或?$\frac 15BC$?時，?$△ABP$?與?$△PCE$?相似

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