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解：如圖所示

①在?$Rt\triangle ABD$?中，由勾股定理，得：

?$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=3$?

∴?$CD=BC-BD=10$?

在?$Rt\triangle ADC$?中，?$AC=\sqrt {CD^2+AD^2}=2\sqrt {29}$?

∴?$\sin C=\frac {AD}{AC}=\frac {4}{2\sqrt {29}}=\frac {2\sqrt {29}}{29}$?

?$ ②BD=\sqrt {AB2-AD2}=\sqrt {52-42}=3$?

?$ CD=BC+BD=13+3=16$?

?$ AC=\sqrt {AD2+CD2}=\sqrt {42+162}=4\sqrt {17}$?

∴?$sinC=\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt {17}}{17}$?

解：如圖所示

∵?$CD$?是?$Rt△ABC$?斜邊上的中線

∴?$CD=AD=BD=5，$??$AB=10，$??$AC=\sqrt {10^2-8^2}=6$?

∴?$∠ACD=∠A$?

∴?$sin∠ACD=sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {4}{5}；$??$cos∠ACD=cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3}{5}$?

?$tan∠ACD=tanA=\frac {BC}{AC}=\frac {4}{3}$?

?$=\frac 12+\frac {\sqrt 2}2$?

?$=\frac {1+\sqrt 2}2$?

?$=(\frac {\sqrt 3}2)^2+(\frac 12)^2+1$?

?$=\frac 34+\frac 14+1$?

?$=2$?

?$=1-\frac 12$?

?$=\frac 12$?

?$=\frac 12+\frac {\sqrt 2}2-\frac {\sqrt 3}3$?

解：?$(1)$?∵?$tanα=\sqrt 3，$?∴?$α=60°；$?

?$(2)sinα=\frac 12，$??$α=30°；$?

?$(3)cosα=\frac {\sqrt 2}2，$??$α=45°$?

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