證明：?$(1) $?∵ 四邊形?$ABCD$?和?$CEFG$?均為正方形，
∴?$ AD//CB，$??$EF//CG，$??$∠BCD=∠ECG=90°，$??$CE=EF，$??$AD=CD.$?
∴ 點(diǎn)?$B、$??$C、$??$G$?在同一條直線上.
∴?$ AD//EF. $?
∴?$ ∠NAM=∠EFM，$??$∠ANM=∠FEM. $?
∵ 點(diǎn)?$M$?是?$AF$?的中點(diǎn)，
∴?$ AM=FM. $?
在?$△ANM$?和?$△FEM$?中，
?$\begin{cases}{ ∠NAM=∠EFM}\\{∠ANM=∠FEM.}\\{AM=FM}\end{cases}$?
∴?$ △ANM≌△FEM(\mathrm {AAS}). $?
∴?$ AN=EF，$??$NM=EM. $?
∴?$ AN=CE.$?
∴?$ AD-AN=CD-CE，$?即?$DN=DE. $?
∵?$ ∠ADE=90°，$?
∴?$ △DEN$?為等腰直角三角形.
∴?$ DM=\frac 12\ \mathrm {EN}=EM，$??$DM⊥EM .$?
?$(2)$?選擇題圖③ 如圖，?$∠DCE=90°，$?延長(zhǎng)?$EM$?交?$AB$?于點(diǎn)?$H，$?連接?$DH、$??$DE. $?
∵ 四邊形?$ABCD$?和?$CEFG$?均為正方形，
∴?$ ∠BAD=∠GCE=90°，$??$AB//CD，$??$CG//EF，$??$CE=EF，$??$AD=CD. $?
∴?$ ∠GCE+∠DCE=180°. $?
∴ 點(diǎn)?$D、$??$C、$??$G$?在同一條直線上，
∴?$AB//DG//EF. $?
∴?$∠AHE=∠MEF，$??$∠HAM=∠EFM. $?
∵?$ M$?是?$AF$?的中點(diǎn)，
∴?$ AM=MF. $?
在?$△AMH$?和?$△FME$?中，
?$\begin{cases}{∠AHE=∠MEF}\\{∠HAM=∠EFM.}\\{AM=MF}\end{cases}$?
∴?$ △AMH≌△FME(\mathrm {AAS}). $?
∴?$ HM=EM，$??$AH=EF. $?
∴?$ AH=CE. $?
在?$△ADH$?和?$△CDE$?中
?$\begin{cases}{AD=CD}\\{∠BAD=∠DCE}\\{AH=CE}\end{cases}$?
∴?$ △ADH≌△CDE(\mathrm {SAS}). $?
∴?$ DH=DE，$??$∠ADH=∠CDE. $?
∴?$ ∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°. $?
∴?$ ∠EDH=90°. $?
∴?$ △EDH$?為等腰直角三角形.
∴?$ DM=\frac 12\ \mathrm {EH}=EM，$??$DM⊥EM.$?
