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證明：?$(1)$?在矩形?$ABCD$?中?$，∠D=90°，DC//AB$?

∴?$∠BAN=∠AMD$?

∵?$BN⊥AM$?

∴?$∠BNA=90°$?

在?$△ABN$?和?$△MAD$?中,

?${{\begin{cases} {{∠BAN=∠AMD}} \\{∠BNA=∠D} \\{AB=MA} \end{cases}}}$?

∴?$△ABN≌△MAD(\mathrm {AAS})$?

?$(2)$?由?$(1)$?得：?$BN=AD=3$?

在?$Rt△ABN$?中?$，AB^2=(AB-1)^2+3^2$?

∴?$AB=5$?

證明：?$(1) $?∵ 四邊形?$ABCD$?是矩形，

∴?$ BE=DE，$??$∠BAD=90°.$?

∴?$ ∠ABD+∠ADB=90°. $?

∵?$ OB=OD，$??$BE=DE，$?

∴?$ OE⊥BD. $?

∴?$ ∠OEB=90°. $?

∴?$ ∠BOE+∠OBE=90°. $?

∴?$ ∠BOE=∠BDA. $?

∵?$ △OAD$?為等腰直角三角形，

∴?$ AO=AD，$??$∠OAD=90°. $?

∴?$ ∠OAD=∠BAD.$?

在?$△OAF $?和?$△DAB$?中，

?$\begin{cases}{∠FOA=∠BDA}\\{AO=AD}\\{∠OAF=∠DAB}\end{cases}$?

∴?$ △OAF≌△DAB(\mathrm {ASA}) $?

?$(2) $?由?$(1)$?得，?$△OAF≌△DAB，$?

∴?$ AF=AB.$?

如圖，連接?$BF，$?則?$BF=\sqrt 2\ \mathrm {AF}. $?

∵?$ BE=DE，$??$OE⊥BD，$?

∴?$ DF=BF. $?

∴?$ DF=\sqrt 2AF. $?

∴?$ \frac {DF}{AF}=\sqrt 2.$?

證明：?$(1) $?∵ 四邊形?$ABCD$?是矩形，

∴?$ ∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°，$??$AB=CD.$?

由折疊得?$AB=PD，$??$∠A=∠P=90°，$??$∠B=∠PDF=90° $?

∴?$ PD=CD.$?

∵?$ ∠PDF=∠ADC，$?

∴?$ ∠PDE=∠CDF.$?

在?$△PDE$?和?$△CDF $?中，

?$\begin{cases}{∠P=∠C=90°，}\\{PD=CD，}\\{∠PDE=∠CDF，}\end{cases}$?

∴?$ △PDE≌△CDF(\mathrm {ASA}) $?

?$(2) $?如圖，過點(diǎn)?$E$?作?$EG⊥BC$?于點(diǎn)?$G，$?

∴?$∠EGF=90°，$??$EG=CD=4\ \mathrm {cm}.$?

在?$Rt△EGF$?中，由勾股定理得?$FG=\sqrt {5^2-4^2}=3(\ \mathrm {cm} )，$?

設(shè)?$CF= x\ \mathrm {cm}，$?

由?$(1)$?知?$△PDE≌△CDF，$?

∴?$ PE=CF=AE=BG= x\ \mathrm {cm}. $?

∵?$ AD//BC，$?

∴?$ ∠DEF=∠BFE.$?

由折疊得?$∠BFE=∠DFE，$?

∴?$ ∠DEF=∠DFE. $?

∴?$ DE=DF=(x+3)\ \mathrm {cm}.$?

在?$Rt△CDF $?中，由勾股定理得?$DF^2=CD^2+CF^2，$?

∴?$ x^2+4^2=(x+3)^2. $?

∴?$ x=\frac 76. $?

∴?$BC=2x+3=\frac 73+3=\frac {16}3(\ \mathrm {cm})$?

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