證明：?$(1) $?∵?$ △ABC$?是以?$BC$?為底邊的等腰三角形，
∴?$ AB=AC. $?
∴?$ ∠ABC=∠C.$?
∵?$ EG//BC，$??$DE//AC，$?
∴?$ ∠AEG=∠ABC=∠C，$?四邊形?$CDEG$?是平行四邊形.
∴?$ ∠DEG=∠C.$?
∴?$ ∠ABC=∠DEG. $?
∵?$ BE=BF，$?
∴?$ ∠F=∠BEF=∠AEG=∠ABC. $?
∴?$ ∠F=∠DEG. $?
∴?$ BF//DE.$?
又∵?$ FE//BD，$?
∴ 四邊形?$BDEF$?為平行四邊形
?$(2) $?∵?$ ∠C=45°，$?
∴?$ ∠ABC=∠F=∠BEF=45°.$?
∴?$ △BDE、$??$△BEF$?是等腰直角三角形.
∴?$ BF=BE=DE.$?
在?$Rt△BEF $?中，?$BF^2+BE^2=EF^2=BD^2=4，$?即?$BF^2=2.$?
如圖，作?$FM⊥BD，$?交?$DB$?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?$M，$?連接?$DF，$?
則?$△BFM$?是等腰直角三角形，且?$FM=BM. $?
∴?$ FM^2+BM^2=BF^2=2. $?
∴?$ FM=BM=1.$?
∴?$ DM=3.$?
在?$Rt△DFM$?中，由勾股定理，得?$DF^2=FM^2+DM^2=1+3^2=10. $?
∴?$ DF=\sqrt {10}，$?
即?$D、$??$F$?兩點(diǎn)間的距離為?$ \sqrt {10}.$?
