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B

?$(1)$?解：?$△ABC∽△ADE，$??$△BAD∽△CAE$?

?$(2)$?證明：∵?$∠BAD=∠CAE$?

∴?$∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，$?即?$∠BAC=∠DAE$?

∵?$∠ABC=∠ADE$?

∴?$△ABC∽△ADE$?

∴?$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}$?

∵?$∠BAD=∠CAE$?

∴?$△BAD∽△CAE$?

∴?$∠ABE=∠ACE$?

解：?$(1)$?∵?$BC=6，$?點?$M$?是?$BC$?的中點

∴?$BM=\frac 12BC=3$?

∵?$AB=4$?

∴?$S_{△ABM}=\frac 12×AB×BM=6$?

?$(2)$?∵四邊形?$ABCD$?是矩形

∴?$AD//BC，$??$∠B=90°$?

∴?$∠DAE=∠AMB$?

∵?$DE⊥AM$?

∴?$∠DEA=∠B=90°$?

∵?$∠DAE=∠AMB，$??$∠DEA=∠B$?

∴?$△ADE∽△AMB$?

∴?$\frac {DE}{DA}=\frac {AB}{AM}$?

在?$Rt△ABM$?中，∵?$AB=4，$??$BM=3$?

∴?$AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=5$?

∵?$DA=BC=6$?

∴?$\frac {DE}{6}=\frac 45$?

∴?$DE=\frac {24}{5}$?

?$(3)$?在?$Rt△ADE$?中，∵?$DA=6，$??$DE=\frac {24}{5}$?

∴?$AE=\sqrt {DA^2-DE^2}=\frac {18}{5}$?

∴?$S_{△ADE}=\frac 12×AE×DE=\frac {216}{25}$?

DE=DA，EA=EB=EC

解：?$ (2) △ADE∽△AEC，$?證明如下：

在?$Rt△CDE$?中，∵?$∠BDC=60°$?

∴?$∠DCE=30°$?

∴?$CD=2DE$?

∵?$CD=2DA$?

∴?$DE=DA$?

∴?$∠DEA=∠DAE$?

∵?$∠DEA+∠DAE=∠BDC= 60°$?

∴?$∠DEA=∠DAE=30°$?

∵?$∠DEA=∠ACE，$??$∠DAE=∠CAE $?

∴?$△ADE∽△AEC$?

?$(3)$?過點?$A$?作?$AF⊥BD，$?交?$BD$?的延長線于點?$F，$?如圖所示

∵?$S_{△BEC}：$??$S_{△BEA}=\frac 12BE×CE：$??$\frac 12BE×AF=CE：$??$AF$?

又∵?$S_{△CDE}：$??$S_{△ADE}=\frac 12DE×CE：$??$\frac 12DE×AF=CE：$??$AF$?

∴?$S_{△BEC}：$??$S_{△BEA}=S_{△CDE}：$??$S_{△ADE}=CD：$??$DA$?

∵?$CD=2DA$?

∴?$S_{△BEC}：$??$S_{△BEA}=2：$??$1$?

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