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第130頁

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解：?$(1)$?經(jīng)測(cè)量?$AE=1.5\ \mathrm {cm}，$??$CE=0.75\ \mathrm {cm}$?
?$AE：$??$CE=2：$??$1$?
?$(2)$?作?$CH//AB$?交?$DF{于}H$?

∵?$CH//AB，$??$CD=BC$?
∴?$\frac {CH}{BF}=\frac {1}{2}$?
∵點(diǎn)?$F $?是?$AB$?的中點(diǎn)
∴?$\frac {CH}{AF}=\frac {1}{2}$?
∵?$CH//AB$?
∴?$\frac {AE}{CE}=\frac {AF}{CH}=2$?
?$(1)$?證明：∵?$CD⊥AB$?
∴?$∠ADC=∠BDC=90°$?
∵?$E$?為?$AC$?的中點(diǎn)
∴?$AE=DE$?
∴?$∠A=∠ADE$?
∵?$∠ADE=∠FDB$?
∴?$∠A=∠FDB$?
∵?$∠ADC=∠ACB=90°$?
∴?$∠A+∠ACD=90°，$??$∠ACD+∠BCD=90°$?
∴?$∠A=∠BCD=∠FDB$?
∵?$∠F=∠F$?
∴?$△FDB∽△FCD$?
?$(2)$?解：在?$Rt△ACB$?中，由勾股定理得：?$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}$?
∴?$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {3\sqrt {13}}{13}，$??$cos∠ABC=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$?
在?$Rt△BCD$?中，∵?$BC=2$?
∴?$BD=BC · cos∠ABC=\frac {4\sqrt {13}}{13}，$??$CD=BC · sin∠ABC=\frac {6\sqrt {13}}{13}$?
∴?$S_{△CBD}=\frac 12BD×CD=\frac {12}{13}$?
設(shè)?$S_{△FDB}=x$?
∵?$△FDB∽△FCD$?
∴?$\frac {S_{△FDB}}{S_{△FCD}}=(\frac {BD}{CD})^2=\frac 49$?
∴?$S_{△FCD}=\frac 94x$?
∴?$\frac 94x-x=\frac {12}{13}$?
解得?$x=\frac {48}{65}$?
∴?$S_{△FDB}=\frac {48}{65}$?
解：∵?$BC=8，$??$BC$?上的高為?$6$?
∴?$△ABC$?的面積?$=\frac {1}{2}×8×6=24$?
當(dāng)?$0＜x≤3$?時(shí)，如圖?$(1)，$??$△A'MN$?與四邊形?$BCNM$?重疊部分的面積?$y=S_{△AMN}$?
∵?$MN//BC$?
∴?$△AMN∽△ABC$?
∴?$\frac {y}{24}=(\frac {x}{6})^2$?
∴?$y=\frac {2}{3}x^2$?
當(dāng)?$3＜x＜6$?時(shí)，如圖?$(2)，$?重疊部分為梯形?$MDEN$?
∵?$DE//MN$?
∴?$△AMN∽△ABC$?
∴?$MN：$??$BC=x：$??$6$?
∴?$MN：$??$8=x：$??$6$?
∴?$MN=\frac {4}{3}x$?
∵?$△AMN≌△A'MN$?
∴?$△A'DE$?的邊?$DE$?的高是?$2x-6$?
∵?$△A'DE∽△A'MN$?
∴?$DE：$??$MN=(2x-6)：$??$x$?
∴?$DE：$??$\frac {4}{3}x=(2x-6)：$??$x$?
∴?$DE=\frac {4}{3}(2x-6)$?
∵梯形?$MNED$?的高是?$6-x$?
∴梯形?$MNED$?的面積?$=\frac {1}{2}[\frac {4}{3}(2x-6)+\frac {4}{3}x](6-x)=-2x^2+16x-24$?
∴?$y=-2x^2+16x-24$?
∴綜上所述，?$y=\begin{cases}{\dfrac {2}{3}x^2(0＜x≤3)}\\{-2x^2+16x-24(3＜x＜6)}\end{cases}$?
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