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解：?$(1)$?∵四邊形?$ABCD$?是平行四邊形
∴?$AB//CD$?
∴?$∠BAE=∠ECF$?
∵?$∠BEA=∠CEF$?
∴?$△ABE∽△CFE$?
∴?$AB：$??$CF=BF：$??$EF=3：$??$2$?
∴?$DF：$??$AB=1：$??$3$?
?$(2)$?∵四邊形?$ABCD$?是平行四邊形
∴?$AD//BC$?
∴?$∠G=∠FBC$?
∵?$∠DFG=∠BFC$?
∴?$△DFG∽△CFB$?
∴?$\frac {FG}{BF}=\frac {DF}{CF}$?
∵?$DF：$??$AB=1：$??$3$?
∴?$\frac {FG}{BF}=\frac {DF}{CF}=\frac 12$?
∵?$BF=BE+EF=5$?
∴?$FG=\frac 52$?
BE
FE
解：?$(1)△AEF∽△ADC，$?證明如下：
∵?$△ABC$?是等邊三角形
∴?$AB=BC=CA，$??$∠BAE=∠C=60°$?
∵?$BD=CE$?
∴?$CD=AE$?
在?$△ACD$?和?$△BAE$?中
?$\begin{cases}{CD=AE}\\{∠C=∠BAE}\\{AC=AB}\end{cases}$?
∴?$△ACD≌△BAE(\mathrm {SAS})$?
∴?$∠ADC=∠BEA$?
∵?$∠EAF=∠DAC$?
∴?$△AEF∽△ADC$?
?$(1)$?證明：∵四邊形?$ABCD$?是正方形
∴?$∠B=∠BAD=90°$?
∵?$DQ⊥AP$?
∵?$∠DQA=90°$?
∵?$∠BAP+∠DAQ= ∠QDA+∠DAQ=90°$?
∴?$∠BAP=.∠QDA$?
∵?$∠B=∠DQA=90°$?
∴?$△DQA∽△ABP$?
?$(2)$?解：連接?$DP$?
∵?$S_{△ADP}=\frac 12S_{正方形ABCD}=\frac 12×2×2=2$?
又∵?$S_{△ADP}=\frac 12 · PA · DQ=\frac 12xy$?
∴?$\frac 12xy=2$?
∴?$y=\frac 4{x}$?
解：連接?$BG$?并延長與?$AC$?交于點?$E，$?連接?$DE$?

∵?$G $?是?$△ABC$?的重心
∴?$BE$?是?$△ABC$?的中線，點?$E$?是?$AC$?的中點
∵點?$D$?是?$BC$?的中點
∴?$DE$?是?$△ABC$?的中位線
∴?$DE//AB，$??$DE=\frac 12AB$?
∴?$∠ABG=∠GED$?
∵?$∠AGB=∠DGE$?
∴?$△ABG∽△DEG$?
∴?$\frac {AG}{DG}=\frac {AB}{DE}=2$?
∴?$\frac {AG}{AD}=\frac 23$?
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