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解：由勾股定理，得?$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$?

∵?$tan A=\frac {a}= \frac {6}{6\sqrt{3}} =\frac {\sqrt{3}}{3}$?

∴?$∠A=30°$?

∴?$∠B=90°-∠A=90°-30°=60°$?

即?$c=12，$??$∠A=30°，$??$∠B=60°$?

解：?$(1)$?如圖，點?$P $?即為所求

?$ (2)$?∵矩形?$ABCD$?的周長為?$12，$?且?$AD=2$?

∴?$AB=4$?

又∵矩形?$ABCD$?與矩形?$A'BC'D'$?位似，?$\frac {AD}{A'D'} =\frac {1}{2}$?

∴?$S_{矩形ABCD}∶S_{ 矩形A'B'C'D'}=(\frac {AD}{A'D'})^2 =(\frac 12)^2= \frac {1}{4}$?

∵?$S_{ 矩形ABCD}=2×4=8$?

∴?$S _{矩形A'B'C'D'}=8×4=32$?

?$\frac {1}{3}$?

解：?$ (2) $?畫樹狀圖如圖

共有?$6$?種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結(jié)果有?$2$?種，即?$Aa、$??$Bb，$?

∴取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率為?$\frac {2}{6}=\frac {1}{3}$?

?$(1)$?證明：∵?$AB$?為直徑

∴?$∠ACB=90°$?

∵?$BE⊥CD$?

∴?$∠BED=90°$?

∴?$∠ACB=∠DEB$?

∵?$\widehat{BC}$?所對的圓周角為?$∠D$?和?$∠A$?

∴?$∠D=∠A$?

∴?$△DBE∽△ABC $?

?$(2)$?過點?$C$?作?$CG⊥AB，$?垂足為?$G$?

∵?$∠ACB=90°，$??$AC=\sqrt{5}，$??$BC=2 \sqrt{5}$?

∴?$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$?

∴?$cos A=\frac {AC}{AB}= \frac {\sqrt{5}}{5} $?

∵?$CG⊥AB$?

∴?$AG=AC · cos A=\sqrt{5} ×\frac {\sqrt{5}}{5}=1$?

∵?$AF=2$?

∴?$FG=AG=1$?

∴?$AC=FC$?

∴?$∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF$?

∴?$BD=BF=AB-AF=5-2=3$?

∵?$△DBE∽△ABC$?

∴?$\frac {BD}{AB} =\frac {DE}{AC} $?

∴?$\frac {3}{5}= \frac {DE}{\sqrt{5}} $?

∴?$ED=\frac {3\sqrt{5}}{5}$?

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