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解：過點(diǎn)?$P$?作?$PH$?垂直?$EF，$?垂足為?$H$?

∵?$AB⊥EF，$??$PH⊥EF，$??$CD⊥EF$?
∴?$AB//HP，$??$CD//HP$?
∴?$△ABM∽△PHM，$??$△CDN∽△PHN$?
∴?$\frac {AB}{HP}=\frac {MB}{MH}，$??$\frac {CD}{PH}=\frac {DN}{HN}$?
∴?$HP=\frac {AB · MH}{MB}，$??$HP=\frac {CD · HN}{DN}$?
∴?$\frac {AB · MH}{MB}=\frac {CD · HN}{DN}$?
∵?$AB=2m，$??$BM=1.6m，$??$CD=1m，$??$DN=0.8m，$??$MN=8.8m$?
設(shè)?$MH=x\ \mathrm {m}，$?則?$NH=(8.8-x)m$?
∴?$\frac {2x}{1.6}=\frac {1×(8.8-x)}{0.8}$?
∴?$x=4.4$?
∴?$HP=\frac {2x}{1.6}=\frac {4.4}{0.8}=5.5(\mathrm {m})$?
∴深坑深度?$5.5$?米
?$(1)$?證明：∵?$∠CDE=∠BDA，$??$∠A=∠E$?
∴?$△CED∽△BAD$?
?$(2)$?解：如圖，過點(diǎn)?$D$?作?$DF⊥EC$?于點(diǎn)?$F$?
∵?$△ABC$?是邊長為?$6$?等邊三角形
∴?$∠A=60°，$??$AC=AB=6$?
∵?$DC=2AD$?
∴?$AD=2，$??$DC=4$?
∵?$△CED∽△BAD$?
∴?$\frac {EC}{DE}=\frac {AB}{AD}=\frac {6}{2}=3$?
∴?$EC=3DE$?
∵?$∠E=∠A=60°，$??$DF⊥EC$?
∴?$∠EDF=90°-60°=30°$?
∴?$DE=2EF$?
設(shè)?$EF=x，$?則?$DE=2x，$??$DF=\sqrt {3}x，$??$EC=6x$?
∴?$FC=5x$?
在?$Rt△DFC$?中，?$DF^2+FC^2=DC^2$?
∴?$(\sqrt {3}x)^2+(5x)^2=4^2$?
解得：?$x=\frac {2\sqrt 7}7$?或?$x=-\frac {2\sqrt {7}}7($?不符合題意，舍去)
∴?$EC=6x=\frac {12\sqrt {7}}7$?
?$(1)$?證明：∵?$AB=AC$?
∴?$∠B=∠C$?
∵?$△ABC≌△DEF$?
∴?$∠AEF=∠B$?
∵?$∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE$?
∴?$∠CEM=∠BAE$?
∴?$△ABE∽△ECM$?
?$ (2) ①$?當(dāng)?$DE⊥BC$?時(shí)，∵?$AB=AC$?
∴?$∠BAE=∠EAM$?
∵?$△ABC≌△DEF$?
∴?$∠B=∠DEF$?
∴?$△ABE∽△AEM$?
∴?$\frac {AB}{AE}=\frac {AE}{AM}，$??$∠AME=∠AEB=90°$?
∵?$AB=AC=5，$??$DE⊥BC，$??$BC=6$?
∴?$BE=EC= \frac 12BC=3$?
在?$Rt△ABE$?中，?$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$?
∴?$\frac {5}{4}=\frac {4}{AM}$?
∴?$AM=\frac {16}{5}$?
∴?$CM=AC-AM=5- \frac {16}{5}=\frac {9}{5} $?
②在?$Rt△AEM$?中，?$EM=\sqrt{AE^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(\frac {16}{5})}=\frac {12}{5}$?
∴?$S_{△AEM}= \frac 12AM·EM= \frac {1}{2}× \frac {16}{5}× \frac {12}{5}= \frac {96}{25}$?
∴疊部分的面積為?$ \frac {96}{25} $?
?$(3)$?∵?$∠AEF=∠B=∠C，$?且?$∠AME> ∠C$?
∴?$∠AME> ∠AEF$?
∴?$AE≠AM$?
當(dāng)?$AE=EM$?時(shí)，?$△ABE≌△ECM$?
∴?$CE=AB=5$?
∴?$BE=BC-EC=6-5=1$?
當(dāng)?$AM=EM$?時(shí)，?$∠MAE=∠MEA$?
∴?$∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，$?即?$∠CAB=∠CEA$?
又∵?$∠C=∠C$?
∴?$△CAE∽△CBA$?
∴?$\frac {CE}{CA}=\frac {CA}{CB}$?
∴?$CE=\frac {CA^2}{CB}=\frac {25}{6}$?
∴?$BE=6- \frac {25}{6}=\frac {11}{6}$?
∴?$BE=1$?或?$BE=\frac {11}{6}$?
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