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第119頁

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解：?$(1)$?∵?$Rt\triangle ABC$?中?$\angle B=30°$?
∴?$\angle A=60°$?
∵?$\angle E=30°$?
∴?$\angle EQC=\angle AQM=60°$?
∴?$\triangle AMQ$?為等邊三角形
∴?$AM=AQ$?
過點?$M$?作?$MN\bot AQ，$?垂足為點?$N$?
在?$Rt\triangle ABC$?中，?$AC=\sqrt{3}，$??$BC=AC?tanA=3$?
∴?$EF=BC=3$?
根據(jù)題意可知?$CF=x$?
∴?$CE=EF-CF=3-x，$??$CQ=CE?tanE=\frac {{\sqrt{3}}}{3}(3-x)$?
∴?$AQ=AC-CQ=\sqrt{3}-\frac {{\sqrt{3}}}{3}(3-x)=\frac {{\sqrt{3}}}{3}x$?
∴?$AM=AQ=\frac {{\sqrt{3}}}{3}x$?
而?$MN=AM?sinA=\frac {1}{2}x$?
∴?${S_{△MAQ}}=\frac {1}{2}AQ?MN=\frac {1}{2}×\frac {{\sqrt{3}}}{3}x?\frac {1}{2}x=\frac {{\sqrt{3}}}{{12}}{x^2}，$?
?$(2)$?由?$(1)$?知?$BF=CE=3-x，$??$PF=BF?tanB=\frac {{\sqrt{3}}}{3}(3-x)$?
∴?${S_{重疊}}={S_{△ABC}}-{S_{△AMQ}}-{S_{△BPF}}=\frac {1}{2}AC?BC-\frac {1}{2}AQ?MN-\frac {1}{2}BF?PF$?
?$=\frac {1}{2}×3×\sqrt{3}-\frac {\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac {1}{2}(3-x)×\frac {\sqrt{3}}{3}(3-x)$?
?$=-\frac {{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\sqrt{3}x=-\frac {{\sqrt{3}}}{4}{(x-2)^2}+\sqrt{3}$?
所以當(dāng)?$x=2$?時，重疊部分面積最大，最大面積是?$\sqrt{3}$?
?$y=25t^2-80t+100(0≤t≤4)$?
解：?$(2)$?當(dāng)?$PQ=3\sqrt{5}$?時，?$25t^2-80t+100=(3\sqrt{5})^2$?
整理，得：?$5t^2-16t+11=0$?
解得：?$t_1=1，$??$t_2=\frac {11}{5}$?
?$(3)$?經(jīng)過點?$D$?的雙曲線?$y=\frac {k}{x}(k\neq 0)$?的?$k$?值不變
連接?$OB，$?交?$PQ{于} $?點?$D，$?過點?$D$?作?$DF\bot OA$?于點?$F$?

∵?$OC=6，$??$BC=8$?
∴?$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=10$?
∵?$BQ//OP$?
∴?$\triangle BDQ∽\triangle ODP$?
∴?$\frac {BD}{OD}=\frac {BQ}{OP}=\frac {2t}{3t}=\frac {2}{3}$?
∴?$BD=\frac 23OD$?
∵?$OB=OD+BD$?
∴?$OD+\frac 23OD=10$?
∴?$OD=6$?
∵?$CB//OA$?
∴?$\angle DOF=\angle OBC$?
在?$Rt\triangle OBC$?中，?$\sin \angle OBC=\frac {OC}{OB}=\frac {6}{10}=\frac {3}{4}，$??$\cos \angle OBC=\frac {BC}{OB}=\frac {8}{10}=\frac {4}{5}$?
∴?$OF=OD · cos∠DOF=OD·\cos \angle OBC=6×\frac {4}{5}=\frac {24}{5}，$?
?$DF=OD · sin∠DOF=OD·\sin \angle OBC=6×\frac {3}{5}=\frac {18}{5}$?
∴點?$D$?的坐標(biāo)為?$(\frac {24}{5}，$??$\frac {18}{5})$?
∴經(jīng)過點?$D$?的雙曲線?$y=\frac {k}{x}(k\neq 0)$?的?$k$?值為?$\frac {24}{5}×\frac {18}{5}=\frac {432}{25}$?
?$(1)$?證明：∵?$△ABC$?是等邊三角形
∴?$∠A=∠B=60°，$??$AB=AC$?
∵?$AD=CF$?
∴?$AF=BD$?
在?$△ADF $?和?$△BED$?中
?$\begin{cases}{AD=BE}\\{∠A=∠B}\\{AF=BD}\end{cases}$?
∴?$△ADF≌△BED(\mathrm {SAS})$?
?$(2)$?解：分別過點?$C、$??$F$?作?$CH⊥AB，$??$FG⊥AB，$?垂足分別為點?$H、$??$G$?

在等邊?$△ABC$?中，?$∠A=∠B=∠ACB=60°，$??$AB=BC=AC=4$?
∴?$CH=AC · sin 60°=2\sqrt {3}，$??$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB · CH=4\sqrt {3}$?
∵?$AD$?的長為?$x，$?則?$AD=BE=CF=x，$??$AF=4-x$?
∴?$FG=AF · sin 60°=\frac {\sqrt {3}}2(4-x)$?
∴?$S_{△ADF}=\frac {1}{2}AD · FG=\frac {\sqrt 3}4x(4-x)$?
由?$(1)$?可知?$△ADF≌△△BED$?
同理可證，?$△BED≌△CFE$?
∴?$S_{△ADF}=S_{△BDE}=S_{△CFE}=\frac {\sqrt 3}4x(4-x)$?
∵?$△DEF$?的面積為?$y$?
∴?$y=S_{△ABC}-3S_{△ADF}=4\sqrt {3}-\frac {3\sqrt 3}4x(4-x)=\frac {3\sqrt {3}}4x^2-3\sqrt {3}x+4\sqrt {3}$?
?$(3)$?由?$(2)$?知，?$y=\frac {3\sqrt 3}4x^2-3\sqrt 3x+4\sqrt 3$?
∵?$a=\frac {3\sqrt 3}4＞0，$?對稱軸為直線?$x=-\frac {-3\sqrt 3}{2×\frac {3\sqrt 3}4}=2$?
∴當(dāng)?$x＞2$?時，?$y$?隨?$x$?的增大而增大，當(dāng)?$x≤2$?時，?$y$?隨?$x$?的增大而減小
即當(dāng)?$2＜x≤4$?時，?$△DEF$?的面積隨?$AD$?的增大而增大，
當(dāng)?$0≤x≤2$?時，?$△DEF$?的面積隨?$AD$?的增大而減小
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