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解：設甲同學步行的速度為?$x\ \mathrm {km/h}，$?則乙同學騎自行車的速度為?$4x\ \mathrm {km/h}$?

由題意得：?$\frac {2.4}{x}-\frac {2.4}{4x}=\frac {30}{60}$?

解得：?$x=3.6$?

經檢驗，?$x=3.6$?是原方程的解，且符合題意

∴?$4x=4×3.6=14.4$?

答：乙同學騎自行車的速度為?$14.4\ \mathrm {km/h}。$?

解：過點?$A$?作?$AF⊥CD$?于點?$F，$?則?$∠AFB=90°$

?在?$ Rt △ABF $?中，?$s in α=\frac {AF}{AB}=\frac {24}{25}$?

設?$AF=24x$?米，?$AB=25x$?米

則由勾股定理得?$BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{(25x)^2-(24x)^2}=7x($?米)

在?$Rt △A FE $?中，?$tan β=\frac {AF}{EF}=3$?

∵?$BE=20$?米

∴?$\frac {24x}{7x+20}=3$?

解得?$x=20$?

經檢驗，?$x=20$?是原方程的根

∴?$AB= 25x=500$?米

∴?$A、$??$B$?兩點間的距離為?$500$?米

解：在?$△AED$?中，∵?$DE⊥AB$?于?$E，$??$DE：$??$AE=1：$??$5$?

∴設?$DE=x，$?則?$AE=5x$?

由勾股定理，?$AD^2=AE^2+ED^2=(5x)^2+x^2=26x^2$?

∴?$AD=\sqrt {26}x$?

在?$△ADC$?中，∵?$∠C=90°，$??$∠ADC=45°$?

∴?$∠DAC=45°$?

∴?$AC=DC$?

由勾股定理，?$AC^2+DC^2=AD^2=26x^2$?

∴?$AC=DC=\sqrt {13}x$?

在?$Rt△BED$?中，∵?$ED=x，$??$BE=3$?

由勾股定理，?$BD^2=ED^2+BE^2=x^2+3^2=x^2+9$?

∴?$BD=\sqrt {x^2+9}$?

在?$Rt△BED$?和?$Rt△BCA$?中，∵?$∠B$?是公共角，?$∠BED=∠BCA=90°$?

∴?$△BED∽△BCA$?

∴?$\frac {ED}{AC}=\frac {BD}{BA}，$?即?$\frac {x}{\sqrt {13}x}=\frac {\sqrt {x^2+9}}{3+5x}$?

解關于?$x$?的方程?$3+5x=\sqrt {13} · \sqrt {x^2+9}$?

兩邊平方得：?$(3+5x)^2=13 · (x^2+9)$?

化簡得：?$2x^2+5x-18=0，$?即?$(x-1)(2x+9)=0$?

∴?$x_1=2 ，$??$x_2=-\frac {9}{2}$?

∵?$x=ED＞0$?

∴?$x=ED=2，$??$AE=5x=10$?

∴?$AB=AE+BE=10+3=13$?

∴?$S_{△ABD}=\frac {1}{2}ED · AB=\frac {1}{2}×2×13=13$?

?$(1)$?證明：如圖，連接?$OC$?

∵?$CF $?是?$⊙O$?的切線，?$C$?是切點

∴?$OC⊥CF，$?即?$∠OCF=90°$?

∴?$∠OCB+∠BCF=90°$?

∵?$CD⊥AB$?

∴?$∠BEC=90°$?

∴?$∠BCE+∠OBC=90°$?

∵?$OB=OC$?

∴?$∠OCB=∠OBC$?

∴?$∠BCE=∠BCF，$?即?$CB$?平分?$∠DCF $?

?$(2)$?如圖，連接?$OG，$?過點?$G $?作?$GM⊥AB$?于點?$M$?

∵?$AB$?是?$⊙O$?的直徑?$，CD⊥AB$?

∴?$CE=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}=3，$??$OC=OG=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=\sqrt{10}$?

∴?$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=1$?

∵?$GM⊥AB，$??$CD⊥AB$?

∴?$CE//GM$?

∴?$△GMH∽△CEH$?

∴?$\frac {GH}{CH} =\frac {GM}{CE}= \frac {MH}{HE} $?

∵?$CH=3GH$?

∴?$\frac 13=\frac {GM}3=\frac {MH}{HE}$?

∴?$GM=1$?

設?$MH=x，$?則?$HE=3x$?

∴?$HO=3x-1，$??$OM=4x-1$?

在?$Rt△OGM$?中，?$OM^2+GM^2=OG^2$?

∴?$(4x-1)^2+1^2=(\sqrt{10} )^2$?

解得?$x=1($?負值舍去)

∴?$BH=OH+OB=3×1-1+ \sqrt{10}=2+ \sqrt{10}$?

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