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解：∵?$∠C=90°$?

∴?$s in A=\frac {BC}{AB}=\frac {5}{13} $?

令?$BC=5x，$??$AB=13x$?

則?$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=12x$?

∵?$∠BDC=45°，$??$∠C=90°$?

∴?$∠BDC=∠CBD=45°$?

∴?$BC=CD=5x$?

∴?$AD=AC-CD=7x=7$?

∴?$x=1$?

∴?$CD=5x=5$?

3

①②④

解：?$(2)$?如圖，過(guò)點(diǎn)?$A$?作?$AD⊥BC$?于點(diǎn)?$D$?

設(shè)?$AD=x$?

∵?$tan C=\frac {1}{2}$?

∴?$CD=2x$?

∵?$AC=6 \sqrt{5}$?

∴根據(jù)勾股定理，得?$x^2+(2x)^2=(6 \sqrt{5} )^2$?

解得?$x=6$?或?$x=-6($?不合題意，舍去)

∴?$AD=6，$??$CD=2x=12$?

∵?$AB=10$?

∴根據(jù)勾股定理，得?$BD=\sqrt{10^2-6^2}=8$?

∴?$BC=CD+BD=12+8=20$?

解：設(shè)?$AB=x$?

∵在?$Rt△ABC$?中，?$∠C=45°$?

∴?$tan C=\frac {AB}{BC}=1$?

∴?$BC=x$?

∴?$BD=BC-CD=x-10$?

∵在?$Rt△ABD$?中，?$∠ADB=60°$?

∴?$tan ∠ADB=\frac {AB}{BD}=\frac {x}{x-10}=\sqrt{3}$?

解得?$x=15+5 \sqrt{3}$?

∴線段?$AB$?的長(zhǎng)為?$15+5 \sqrt{3}$?

解：∵?$H$?為?$AD$?的中點(diǎn)

∴?$AH=HD$?

∵?$E、$??$G $?分別為?$AB、$??$CD$?的中點(diǎn)

∴?$AE=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}，$??$DG=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}$?

∵四邊形?$ABCD$?是矩形

∴?$∠A=∠D=90°，$??$AB=CD$?

∴?$AE=DG$?

在?$△AEH$?和?$△DGH$?中

?$AE=DG$?

?$∠A=∠D=90°$?

?$AH=DH$?

∴?$△AEH≌DGH(\mathrm {SAS})$?

∴?$EH=GH$?

同理可得?$EH=GH=FG=EF$?

∵四邊形?$EFGH$?的周長(zhǎng)為?$40\ \mathrm {cm}$?

∴?$EH=10\ \mathrm {cm}$?

在?$Rt △A EH $?中，?$s in ∠A EH =\frac {AH}{EH}=\frac {4}{5}$?

∴?$AH=8\ \mathrm {cm}，$??$AE=\sqrt{EH^2-AH^2}=6\ \mathrm {cm}$?

∴?$AD=2\ \mathrm {AH}=16\ \mathrm {cm}，$??$AB=2\ \mathrm {AE}=12\ \mathrm {cm}$?

∴?$S _{矩形ABCD}=AB · AD=12×16=192(\ \mathrm {cm^2}) $?

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