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?$\frac {\sqrt{5}-1}{2}$?

解：如圖，設(shè)?$∠A=α，$??$BC=1$?

∵?$sin α=\frac 13，$?即?$\frac {BC}{AB}=\frac 13$?

∴?$AB=3$?

∴?$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=2\sqrt 2$?

∴?$cos α=\frac {AC}{AB}=\frac {2\sqrt 2}3，$??$tan α=\frac {BC}{AC}=\frac 1{2\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}4$?

解：如圖，等腰三角形?$ABC，$?過點(diǎn)?$A$?作?$AD⊥BC，$?垂足為點(diǎn)?$D$?

則?$BD=DC=\frac 12BC$?

①當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為?$6$?時(shí)，腰長(zhǎng)為?$(16-6)÷2=5$?

?$ AB=5，$??$BD=\frac 12BC=3$?

∴?$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$?

?$ sin B=\frac {AD}{AB}=\frac 45$?

②當(dāng)腰長(zhǎng)為?$6$?時(shí)，底邊長(zhǎng)為?$16-6×2=4$?

∴?$AB=6，$??$BD=\frac 12BC=2$?

?$ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4\sqrt 2$?

?$ sin B=\frac {AD}{AB}=\frac {4\sqrt 2}{6}=\frac {2\sqrt 2}3$?

綜上，底角的正弦值為?$\frac 45$?或?$\frac {2\sqrt 2}3$?

解：?$(1)$?在?$Rt△CDE$?中，∵?$∠CDE=90°，$??$tan ∠DCE=\frac {2}{3} $?

∴?$\frac {DE}{CD} =\frac {2}{3}$?

∵?$CD=6$?

∴?$DE=4$?

∴?$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2 \sqrt{13}$?

?$ (2) $?如圖，取?$CD$?的中點(diǎn)?$F，$?連接?$EF$?

∵?$E$?是?$AB$?的中點(diǎn)

∴?$EF//AD$?

∴?$∠ADE=∠DEF$?

∵?$CD=6，$??$F $?是?$CD$?的中點(diǎn)

∴?$DF=3$?

由勾股定理，得?$EF=\sqrt{DF^2+DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$?

在?$Rt△DEF $?中，∵?$∠EDF=90°，$??$DE=4，$??$EF=5$?

∴?$cos ∠DEF =\frac {DE}{EF}=\frac {4}{5}$?

∴?$cos ∠ADE=\frac {4}{5}，$?即?$∠ADE$?的余弦值為?$ \frac {4}{5}$?

?$(1)$?證明：如圖，連接?$OE$?

∵?$OA=OE$?

∴?$∠OAE=∠OEA$?

∴?$∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE$?

∵?$∠CAB=2∠EAB$?

∴?$∠CAB=∠FOE$?

又∵?$∠AFE=∠ABC$?

∴?$∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE$?

∵?$AB$?是?$⊙O$?的直徑

∴?$∠ACB=90°$?

∴?$∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠AFE$?

∴?$∠OEF=90°，$?即?$OE⊥EF$?

∵?$OE$?是半徑

∴?$EF $?是?$⊙O$?的切線

?$(2)$?解：在?$Rt△EOF$?中，設(shè)半徑為?$r，$?即?$OE=OB=r，$?則?$OF=r+1$?

∵?$sin∠AFE=\frac {4}{5}=\frac {OE}{OF}=\frac {r}{r+1}$?

∴?$r=4$?

∴?$AB=2r=8$?

在?$Rt△ABC$?中，?$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=sin∠AFE=\frac {4}{5}，$??$AB=8$?

∴?$AC=\frac {4}{5}×8=\frac {32}{5}$?

∴?$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=\frac {24}{5}$?

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