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解：延長(zhǎng)?$AF ，$?交?$DE$?于點(diǎn)?$G$?

∵?$BC//ED$?

∴?$△ABC∽△ADE$?

∴?$\frac {AF}{AG}=\frac {BC}{DE}$?

又∵?$BC=10$?米，?$AF=3，$??$FG=12$?米，

∴?$AG=AF+FG=15$?米

∴?$\frac {3}{15}=\frac {10}{DE}$?

∴?$DE=50$?米

?$50÷2=25，$??$25+1=26($?棵)

答：?$DE$?處共有?$26$?棵樹。

?$(1)$?證明：∵?$AB//DC$?

∴?$∠ABD=∠BDC，$??$∠ABC+∠C=180°$?

∵?$∠ABC+∠ADB=180°$?

∴?$∠C=∠ADB$?

∴?$△ABD∽△BDC$?

?$(2)$?解：∵?$△ABD∽△BDC，$??$AE$?平分?$∠DAB，$??$BF{平分}∠DBC，$??$BF=2AE$?

∴?$\frac {S_{△ABD}}{S_{△BDC}}=(\frac {AE}{BF})^2=(\frac {AE}{2AE})^2=(\frac {1}{2})^2=\frac {1}{4}$?

∵?$S_{△ABD}=3$?

∴?$S_{△BDC}=4S_{△ABD}=12$?

解：?$(1)$?∵四邊形?$EFGH$?是正方形

∴?$EH//BC$?

∴?$∠AEH=∠B，$??$∠AHE=∠C$?

∴?$△AEH∽△ABC$?

?$(2)$?如圖，設(shè)?$AD$?與?$EH$?交于點(diǎn)?$M$?

∵?$∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°$?

∴四邊形?$EFDM$?是矩形

∴?$EF=DM$?

設(shè)正方形?$EFGH$?的邊長(zhǎng)為?$x\ \mathrm {cm}，$?則?$DM=x，$??$AM=30-x$?

∵?$△AEH∽△ABC$?

∴?$\frac {EH}{BC}=\frac {AM}{AD}，$?即?$\frac {x}{40}=\frac {30-x}{30}$?

解得?$x=\frac {120}{7}$?

∴正方形?$EFGH$?的邊長(zhǎng)為?$\frac {120}{7}\ \mathrm {cm}$?

解：?$(1)$?如圖，∵立桿?$AB、$??$CD$?相交于點(diǎn)?$O$?

∴?$∠AOC=∠EOF$?

又∵?$\frac {OA}{OE}=\frac {OC}{OF}=\frac {51}{34}=\frac {3}{2}$?

∵?$△AOC∽△EOF$?

∴?$∠CAO=∠OEF$?

∴?$AC//EF$?

?$ (2) $?如圖，過點(diǎn)?$A$?作?$AM⊥BD$?于點(diǎn)?$M，$?過點(diǎn)?$O$?作?$ON⊥EF $?于點(diǎn)?$N$?

∵?$OE=OF=34\ \mathrm {cm}$?

∴?$△OEF $?是等腰三角形

∴?$∠OEF=\frac {1}{2} (180°-∠EOF)$?

∵?$ON⊥EF，$??$EF=32\ \mathrm {cm}$?

∴?$ON$?是邊?$EF $?上的中線

∴?$EN=16\ \mathrm {cm}$?

在?$Rt△OEN$?中，根據(jù)勾股定理，可得?$ON=\sqrt{OE^2-EN^2}=\sqrt{34^2-16°}=30(\ \mathrm {cm})$?

∵?$ON⊥EF，$??$AM⊥BD$?

∴?$∠ONE=∠AMB=90°$?

∵?$OA=OC，$??$AB=CD$?

∴?$OB=OD$?

∴?$∠OBD=\frac {1}{2} (180°-∠BOD)$?

∴?$∠OBD=∠OEF$?

∴?$EF//BD$?

∴?$AM⊥EF$?

∴?$ON//AM$?

∴?$∠EON=∠BAM$?

∴?$△EON∽△BAM$?

∴?$\frac {OE}{AB}=\frac {ON}{AM}，$?即?$ \frac {34}{136}=\frac {30}{AM}$?

解得?$AM=120\ \mathrm {cm}$?

∴，利用夾子垂掛在曬衣架上的連衣裙總長(zhǎng)度小于?$120\ \mathrm {cm}$?時(shí)，連衣裙才不會(huì)拖在地面上

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