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第43頁

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解：??$(1)$??∵四邊形??$BFED$??是平行四邊形
∴??$DE//BF$??
∴??$DE//BC$??
∴??$\triangle ADE∽\triangle ABC$??
∴??$\frac {AD}{AB}=\frac {DE}{BC}=\frac {1}{4}$??
∵??$AB=8$??
∴??$AD=2$??
??$(2)$??∵??$\triangle ADE∽\triangle ABC$??
∴??$\frac {{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=(\frac {DE}{BC})^2=(\frac {1}{4})^2=\frac {1}{16}$??
∵??$\triangle ADE$??的面積為??$1$??
∴??$\triangle ABC$??的面積是??$16$??
∵??$DE//BC$??
∴??$\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}=\frac 14$??
∴??$\frac {EC}{AC}=\frac {3}{4}$??
∵四邊形??$BFED$??是平行四邊形
∴??$EF//AB$??
∴??$\triangle EFC∽\triangle ABC$??
∴??$\frac {{S}_{△EFC}}{{S}_{△ABC}}=(\frac {3}{4})^2=\frac {9}{16}$??
∴??$\triangle EFC$??的面積??$=9$??
∴平行四邊形??$BFED$??的面積??$=16-9-1=6$??
??$(1)$??證明：∵??$CD$??是??$Rt△ABC$??斜邊??$AB$??上的中線
∴??$DC=DA=DB$??
∴??$∠DCA=∠A$??
在??$△ADE$??中，??$∠DEC=∠A+∠ADE$??
又∵??$∠ADE=∠B-∠A，$??即??$∠B=∠A+∠ADE$??
∴??$∠DEC=∠B$??
∴??$△CDE∽△ACB $??
??$(2)$??令??$EA=k(k> 0)，$????$DA=\sqrt{6}\ \mathrm {k}，$????$CE=x$??
∵??$△CDE∽△ACB$??
∴??$\frac {CE}{CD}= \frac {AB}{AC} ，$??即??$\frac {x}{\sqrt 6k} =\frac {2\sqrt{6}k}{x+k}$??
解得??$x=3k，$????$x=-4k($??不合題意，舍去)
∴??$\frac {S_{△CDE}}{S_{△ABC}}=(\frac {CE}{AB})^2=(\frac {3k}{2\sqrt{6}k} )^2= \frac {3}{8}$??
解：??$(1)EA$??與??$\odot O$??相切 ，連接??$OA$??
∵??$DA·AC=DC · AB$??
∴??$\frac {DA}{AB}=\frac {DC}{CA}$??
∵??$BC$??是??$⊙O$??的直徑
∴??$∠BAC=90°=∠ADC$??
∴??$△ABC∽△DAC$??
∴??$∠ACB=∠ACD$??
∵??$OA=OC$??
∴??$∠OAC=∠OCA$??
∴??$∠OAC=∠ACD$??
∴??$OA//CD$??
∴??$∠OAE=∠CDE=90°$??
∴??$OA⊥DE$??
又∵??$OA$??為??$⊙O$??的半徑
∴??$EA$??與??$⊙O$??相切
??$(2)$??∵??$OA//CD$??
∴??$△AOE∽△DCE$??
∴??$\frac {AO}{CD}=\frac {OE}{EC}$??
設??$BO=OC=OA=a，$??則??$BC=2a$??
∵??$BC=BE=2a$??
∴??$S_{△ABE}=S_{△ABC}，$????$EO=3a，$????$EC=4a$??
∴??$\frac {a}{CD}=\frac {3a}{4a}$??
 ∴??$CD= \frac 43a$??
∵??$△ABC∽△DAC$??
∴??$\frac {BC}{AC}= \frac {AC}{CD}$??
∴??$AC^2=BC·CD =\frac {8}{3}a^2$??
∵??$△ABC∽△DAC$??
∴??$\frac {S_{△ACD}}{S_{△ABC}} =(\frac {AC}{BC}) ^2=\frac {2}{3} $??
∴??$S_{2}=\frac 23\ \mathrm {S}_1$??
∴??$m= \frac 23$??
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