解：?$(1)$?如圖所示：點(diǎn)?$E$?即為所求.
?$(2)4$?個(gè).理由如下：
連接?$AP，$??$BP.$?
?$∵△ABP$?為直角三角形，
?$∴∠APB=90°，$?
?$∴∠DPA+∠CPB=90°.$?
?$∵∠DAP+APD=90°，$?
?$∴∠DAP=CPB.$?
又?$∵∠D=∠C，$?
?$∴△DPA∽△BCP，$?
?$∴\frac {DP}{AD}=\frac {CB}{PC}.$?
設(shè)?$DP=x，$?則?$PC=3-x，$?則?$\frac {x}{1}=\frac {1}{3-x}，$?
解得：?$x=\frac {3±\sqrt{5}}{2}，$?
?$∴DP=\frac {3±\sqrt{5}}{2}.$?
?$∵D，$??$C$?也是?$A，$??$B$?的勾股點(diǎn)，點(diǎn)?$P$?的位置有兩個(gè)，
∴共有?$4$?個(gè)勾股點(diǎn).
?$(3)①$?如圖所示：當(dāng)?$t=4$?時(shí)，?$DP=4，$??$AE=4，$??$PE=AD=4，$?
?$∵DM=8，$??$AN=5，$?
?$∴PM=4，$??$EN=1.$?
過(guò)點(diǎn)?$N$?作?$NG⊥PM$?于點(diǎn)?$G，$?則?$PG=EN=1，$?
則?$tan∠PMN=\frac {NG}{GM}=\frac {4}{4-1}=\frac {4}{3}.$?
當(dāng)?$∠NMH_1=90°$?時(shí)，則?$∠PH_1M+∠H_1MP=∠H_1MP+∠NMP=90°，$?
?$∴∠PH_1M=∠NMP，$?
?$∴tan∠PH_1M=\frac {PM}{P{H_1}_1}=tan∠NMP=\frac {4}{3}，$?
?$∴PH_1=\frac {3}{4}×4=3；$?
當(dāng)?$∠MNH_3=90°$?時(shí)，可得?$H_1M∥H_3N，$?
?$∴∠NH_3E=∠MH_1P，$?
?$∴tan∠NH_3E=tan∠PH_1M=\frac {4}{3}，$?
?$∴\frac {EN}{{H}_3E}=\frac {1}{{H}_3E}=\frac {4}{3}，$?
?$∴H_3E=\frac {3}{4}，$?
?$∴PH_3=4-\frac {3}{4}=\frac {13}{4}.$?
當(dāng)?$∠PH_2N=90°$?時(shí)，設(shè)?$PH_2=x，$?則?$H_2E=4-x，$?
?$∵∠PMH_2+∠PH_2M=90°，$??$∠PH_2M+∠EH_2N=90°，$?
?$∴∠PMH_2=∠NH_2E.$?
?$∵∠MPE=∠PEN=90°，$?
?$∴△PMH_2∽△EH_2N，$?
?$∴\frac {P{H}_2}{EN}=\frac {PM}{E{H}_2}，$?
即：?$\frac {x}{1}=\frac {4}{4-x}，$?
解得：?$x=2，$?經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，
?$∴PH_2=2.$?
綜上：?$PH$?為?$2$?或?$3$?或?$\frac {13}{4}.$?
②由①可知，當(dāng)?$t=4$?時(shí)，?$MN=5，$??$PH_2=2，$?
?$∴H_2$?是?$PE$?的中點(diǎn)，
設(shè)以?$MN$?為直徑的圓?$O，$?則?$OH_2$?是梯形?$PMNE$?的中位線(xiàn)，
?$∴OH_2=\frac {1}{2}(PM+EN)=\frac {1}{2}×(1+4)=2.5=\frac {1}{2}MN，$?且?$OH_2⊥PE，$?
∴圓?$O$?與?$PE$?相切，
?$∴PE$?與圓?$O$?只有一個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合當(dāng)?$M，$??$N$?為直角頂點(diǎn)時(shí)，得到兩個(gè)直角三角形，
∴此時(shí)共有?$3$?個(gè)勾股點(diǎn).
當(dāng)?$0≤t＜4$?時(shí)，?$PE$?與圓?$O$?相離，?$PE$?與圓?$O$?沒(méi)有交點(diǎn)，
此時(shí)，只有當(dāng)?$M，$??$N$?為直角頂點(diǎn)時(shí)，得到兩個(gè)直角三角形，
∴此時(shí)有兩個(gè)勾股點(diǎn).
當(dāng)?$t=5$?或?$t=8$?時(shí)，?$PE$?通過(guò)?$N$?或?$M$?點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)勾股點(diǎn)，
當(dāng)?$4≤t＜5$?或?$5＜t＜8$?時(shí)，直線(xiàn)?$PE$?與圓?$O$?有兩個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合當(dāng)?$M，$??$N$?為直角頂點(diǎn)時(shí)，得到兩個(gè)直角三角形，
共有?$4$?個(gè)勾股點(diǎn).
綜上：當(dāng)?$0≤t＜4$?時(shí)或?$t=5$?或?$t=8$?時(shí)，有?$2$?個(gè)勾股點(diǎn)，
當(dāng)?$t=4$?時(shí)，有?$3$?個(gè)勾股點(diǎn)，
當(dāng)?$4＜t＜5$?時(shí)或?$5＜t＜8$?時(shí)，有?$4$?個(gè)勾股點(diǎn)，
當(dāng)?$4＜t＜5$?時(shí)，有?$4$?個(gè)勾股點(diǎn)，當(dāng)?$t=5$?時(shí)，有?$2$?個(gè)勾股點(diǎn).
