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?$解：因為四邊形ABCD是矩形$?
?$所以AD//BC，∠B=90°$?
?$所以∠DAP=∠AMB$?
?$因為DP⊥AM.$?
?$所以∠DPA=∠B= 90°$?
?$所以△ABM∽△DPA$?
?$所以\frac {AB}{AM}=\frac {DP}{AD}$?
?$因為AM=5 ， AB=4 ， AD=6$?
?$所以\frac {4}{5}=\frac {DP}{6}$?
?$所以DP=\frac {24}{5}$?


?$解：作AH⊥BC于H，$?
?$則AH//DE，DG//BC$?
?$所以\frac {DE}{AH}=\frac {BD}{AB}=1-\frac {AD}{AB}=1-\frac {DG}{BC}$?
?$BC=\sqrt{122+162}=20\ \mathrm {cm}，AH=\frac {12×16}{20}=\frac {48}{5}\ \mathrm {cm}$?
?$設DE= 3x\ \mathrm {cm}，$?
?$則DG= EF = 5x\ \mathrm {cm}$?
?$所以\frac {3x}{\frac {48}{5}}=1-\frac {5x}{20}$?
?$解得x=\frac {16}{9}$?
?$所以矩形DEFG的周長= 2(DE+ DG)= 16x= \frac {256}{9}\ \mathrm {cm} .$?

?$證明： (1)因為AB是○O的直徑$?
?$所以∠ACB =90°$?
?$所以∠CAB+∠B=90°$?
?$因為CD⊥AB$?
?$所以∠CDA= 90°$?
?$所以∠CAB+∠ACD=90°$?
?$所以∠B=∠ACD$?
?$因為∠B=∠F$?
?$所以∠ACD=∠F$?
?$(2)因為∠ACD=∠F ，∠CAG=∠CAF$?
?$所以△ACG∽△AFC$?
?$所以\frac {AC}{AF}=\frac {AG}{AC}$?
?$所以AC2= AG×AF$
?
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