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解?$：(1)$?在?$Rt△ABC$?中

因?yàn)?$∠C= 90°， b= 17，c= 17\sqrt{2}$?

所以?$a=\sqrt{c2-b2}=17$?

因?yàn)?$sinA=\frac {a}{c}=\frac {17}{17\sqrt{2}}=\frac {\sqrt{2}}{2}$?

所以?$∠A=45°，∠B=45°$?

?$(2)$?因?yàn)?$∠C=90°，∠A=60°$?

所以?$∠B=30°$?

因?yàn)?$c=20$?

所以?$a=c×sin_{60}° = 10\sqrt{3}，$?

?$b= c×cos_{60}°= 10$?

解:因?yàn)?$AD⊥BC，∠B=45°，BD=\sqrt{3}$?

所以?$BD=AD=\sqrt{3}$?

因?yàn)?$∠C=60°$?

所以?$AC=2$?

因?yàn)?$E，F(xiàn)_{分別} $?為?$AB，BC$?的中點(diǎn)

所以?$EF=\frac {1}{2}AC=1$?

?$解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，如圖所示，$

?$在Rt△ACD中，$?

?$因?yàn)閟inC = \frac {AD}$?

?$所以AD= bsinC$?

?$S_{△ABC}= \frac {1}{2}a×AD=\frac {1}{2}absinC$?

?$同理可得， S_{△ABC}= \frac {1}{2}acsinB=\frac {1}{2}bcsinA$?

?$S_{△ABC}= \frac {1}{2}absinC =\frac {1}{2}acsinB=\frac {1}{2}bcsinA$?

?$(2)在Rt△ABD中，$?

?$因?yàn)閏=2 ，∠B=60°$?

?$所以AD=c×sin_{60}°=\sqrt{3}，BD= c.cos_{60}°= 1$?

?$在Rt△ACD中，$?

?$因?yàn)锳D=\sqrt{3}，∠C= 45°$?

?$所以CD= AD=\sqrt{3}，b=\frac {AD}{sin_{45}°}=\sqrt{6}$?

?$所以a= BD+ CD=1+\sqrt{3}$?

?$S_{△ABC}=\frac {1}{2}a×AD=\frac {3+\sqrt{3}}{2}$?

?$因?yàn)镾_{△ABC}=\frac {1}{2}bcsinA$?

?$所以sinA=\frac {2S_{△ABC}}{bc}=\frac {\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$?

?$解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD ，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB ，垂足為F，$?

?$如圖所示$?

?$因?yàn)镃E⊥AD，CF⊥AB，∠A=90°$?

?$所以四邊形AECF為矩形$?

?$因?yàn)椤螧+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE= 180°$?

?$所以∠B=∠CDE$?

?$在Rt△CDE中$?

?$因?yàn)閏osB= cos∠CDE=\frac {3}{5}， CD= 10$?

?$所以DE=6， CE=8$?

?$所以AF=CE=8$?

?$因?yàn)锳B=17$?

?$所以BF=9$?

?$在Rt△BCF 中，$?

?$因?yàn)锽F=9， cosB=\frac {3}{5}$?

?$所以BC=15，CF=12 ，$?

?$所以AE=CF=12$?

?$所以AD=AE-DE=6.$?

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