解：$(1)$
$(2)$設(shè)函數(shù)表達(dá)式為$y= ax2+ bx+c$
由題意得，?$\begin{cases}{-\dfrac {2a}=1 }\\{a-b+c=0}\\{\dfrac {3}{2}=c} \end{cases}$?
解得$a=-\frac {1}{2}，$$b=1，$$c=\frac {3}{2}$
所以此圖像相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為$y=-\frac {1}{2}x2+x+\frac {3}{2}$
$(3)$令$y= 0，$得$0= -\frac {1}{2}x2+x+\frac {3}{2}$
解得，${x}_1=-1，$${x}_2=3$
所以點(diǎn)$B$坐標(biāo)為$(3 ，$$ 0)$
所以$AB=4$
設(shè)點(diǎn)$P{坐標(biāo)} $為$(t，$$-\frac {1}{2}t2+t+\frac {3}{2})$
所以$S_{△ABP}=\frac {1}{2}×4×(-\frac {1}{2}t2+t+\frac {3}{2})$
$=-t2+2t+3$
$=-(t-1)2+4$
因?yàn)辄c(diǎn)$P $在$x$軸上方
所以$-1＜t＜5$
當(dāng)$t = 1$時(shí)，$ △ABP$的面積最大 ,最大值為$4$
