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第71頁

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$ 證明：(1) 因?yàn)锳C=AB，$
$ 所以∠C=∠B. $
$ 因?yàn)镃F= BE，$
$ 所以CF- EF=BE-EF，$
$ 即CE=BF.$
$ 在△ACE和△ABF 中，$
$ \begin{cases}AC=AB，\\∠C=∠B \\CE=BF，\end{cases}$
$ ∴ △ACE≌△ABF. $
$ ∴ ∠CAE=∠BAF$
$ (2) ∵ △ACE≌△ABF， $
$ ∴ AE=AF，∠CAE=∠BAF.$
$ ∵ AE2=AQ×AB，AC=AB， $
$ ∴ \frac {AE}{AQ} = \frac {AC}{AF} .$
$ 又 ∵ ∠CAE=∠FAQ $
$ ∴ △ACE∽△AFQ$
$ ∴ ∠AEC=∠AQF $
$ ∴ ∠AEF=∠BQF. $
$ ∵ AE=AF， $
$ ∴ ∠AEF=∠AFE. $
$ ∴ ∠AFE=∠BQF.$
$ 又 ∵ ∠C=∠B， $
$ ∴ △CAF∽△BFQ； $
$ ∴ \frac {CF}{BQ} = \frac {AF}{FQ} ，$
$ ∴CF×FQ=AF×BQ.$

$證明：(1)∵AB是圓O的直徑， $
$∴ ∠ACB=90°. $
$∵ BE⊥CD，$
$∴ ∠DEB=90°=∠ACB.$
$∵\(yùn)widehat{BC}=\widehat{BC}$
$∴ ∠D=∠A，$
$∴ △DBE∽△ABC.$
$(2) 過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G.$
$∵ ∠ACB=90°，AC= \sqrt{5}\ \mathrm {BC}=2 \sqrt{5} ， $
$∴ AB= \sqrt{AC2+BC2} =5. $
$∵ CG⊥AB， $
$∴ ∠AGC=90°， $
$∴ ∠ACB=∠AGC. $
$∵ ∠A=∠A， $
$∴ △ACB∽△AGC， $
$∴ \frac {AC}{AG} = \frac {AB}{AC} ， $
$∴ AG= \frac {AC2}{AB} =\frac {(\sqrt{5})2}{5} =1. $
$∵ AF=2， $
$∴ FG=AG=1， $
$∴ AC=CF， $
$∴ ∠A=∠CFA. $
$∵ ∠CFA=∠BFD，∠A=∠D， $
$∴ ∠BFD=∠D，$
$∴ BD=BF=AB-AF=5-2=3. $
$∵ △DBE∽△ABC.$
$ \frac {BD}{BA}= \frac {DE}{AC} $
$ \frac {3}{5} =\frac {DE}{\sqrt{5}} $
$∴ED=\frac {3\sqrt{5}}{5}$

(4,6)
A
$證明：(1) 因?yàn)锳C=AB，$
$所以∠C=∠B. $
$因?yàn)镃F= BE，$
$所以CF- EF=BE-EF，$
$即CE=BF.$
$在△ACE和△ABF 中，$
$\begin{cases}AC=AB，\\∠C=∠B \\CE=BF，\end{cases}$
$∴ △ACE≌△ABF. $
$∴ ∠CAE=∠BAF$
$證明：(2) ∵ △ACE≌△ABF， $
$∴ AE=AF，∠CAE=∠BAF.$
$∵ AE2=AQ×AB，AC=AB， $
$∴ \frac {AE}{AQ} = \frac {AC}{AF} .$
$又 ∵ ∠CAE=∠FAQ $
$∴ △ACE∽△AFQ$
$∴ ∠AEC=∠AQF $
$∴ ∠AEF=∠BQF. $
$∵ AE=AF， $
$∴ ∠AEF=∠AFE. $
$∴ ∠AFE=∠BQF.$
$又 ∵ ∠C=∠B， $
$∴ △CAF∽△BFQ； $
$∴ \frac {CF}{BQ} = \frac {AF}{FQ} ，$
$∴CF×FQ=AF×BQ.$
$證明：(1)∵AB是圓O的直徑， $
$∴ ∠ACB=90°. $
$∵ BE⊥CD，$
$∴ ∠DEB=90°=∠ACB.$
$∵\(yùn)widehat{BC}=\widehat{BC}$
$∴ ∠D=∠A，$
$∴ △DBE∽△ABC.$
$解：(2) 過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G.$
$∵ ∠ACB=90°，AC= \sqrt{5}\ \mathrm {BC}=2 \sqrt{5} ， $
$∴ AB= \sqrt{AC2+BC2} =5. $
$∵ CG⊥AB， $
$∴ ∠AGC=90°， $
$∴ ∠ACB=∠AGC. $
$∵ ∠A=∠A， $
$∴ △ACB∽△AGC， $
$∴ \frac {AC}{AG} = \frac {AB}{AC} ， $
$∴ AG= \frac {AC2}{AB} =\frac {(\sqrt{5})2}{5} =1. $
$∵ AF=2， $
$∴ FG=AG=1， $
$∴ AC=CF， $
$∴ ∠A=∠CFA. $
$∵ ∠CFA=∠BFD，∠A=∠D， $
$∴ ∠BFD=∠D，$
$∴ BD=BF=AB-AF=5-2=3. $
$∵ △DBE∽△ABC.$
$∴ \frac {BD}{BA}= \frac {DE}{AC} $
$ ∴\frac {3}{5} =\frac {DE}{\sqrt{5}} $
$∴ED=\frac {3\sqrt{5}}{5}$
解：∵四邊形OA'B'C'與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似
∴四邊形OA'B'C'∽四邊形OABC
∵四邊形OA'B'C'的面積是四邊形OABC面積的4倍
∴四邊形OA'B'C'與四邊形OABC的相似比為2∶1
∴OB'=2OB
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，3)，B'在第一象限內(nèi)
∴B'(4，6)
故答案為：(4，6)
$解：設(shè)AF=x，則AC=3x，$
$\because 四邊形CDEF為正方形，$
$\therefore EF=CF=2x，EF// BC，$
$\therefore \triangle AEF\backsim \triangle ABC，$
$\therefore \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{1}{3}，$
$\therefore BC=6x，$
$在Rt\triangle ABC中，A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}，即{30}^{2}={(3x)}^{2}+{(6x)}^{2}，$
$解得{x}_{1}=2\sqrt{5}，{x}_{1}=-2\sqrt{5}（不合題意，舍去），$
$\therefore AC=6\sqrt{5}，BC=12\sqrt{5}，EF=4\sqrt{5}，$
$\therefore 剩余部分的面積=\dfrac{1}{2}\times 12\sqrt{5}\times 6\sqrt{5}-4\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}=100(c{m}^{2}).$
$故答案為：A$
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