7. 一筐蘋果連筐重48千克,吃掉$\frac{7}{11}$后,連筐還重20千克。空筐重多少千克？
答案：蘋果重:$(48-20)÷\frac{7}{11}=44$(千克)
空筐重:$48-44=4$(千克)
提示:吃掉的$\frac{7}{11}$的蘋果重$48-20=28$(千克),求出整筐蘋果重$28÷\frac{7}{11}=44$(千克),最后求出筐重$48-44=4$(千克)。
8. 根據(jù)給出的規(guī)律進行巧算。
(1)規(guī)律：$a÷ b的商等于b÷ a$的商的倒數(shù)(a、b不為0)。
$\frac{1}{60}÷(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})$
(2)規(guī)律：$a^{2}-b^{2}= (a - b)×(a + b)$。
$[1-(\frac{1}{2})^{2}]×[1-(\frac{1}{3})^{2}]×[1-(\frac{1}{4})^{2}]×…×[1-(\frac{1}{10})^{2}]$
(3)規(guī)律：$\frac{1}{n×(n + 1)×(n + 2)}= [\frac{1}{n×(n + 1)}-\frac{1}{(n + 1)×(n + 2)}]×\frac{1}{2}$(n是大于0的自然數(shù))。
$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+…+\frac{1}{98×99×100}$
答案：
(1)$(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})÷\frac{1}{60}$
$=(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})×60$
$=\frac{4}{5}×60-\frac{2}{3}×60+\frac{3}{20}×60$
$=48-40+9$
$=17$
所以$\frac{1}{60}÷(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{20})=\frac{1}{17}$。
(2)原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\cdots×(1-\frac{1}{10})×(1+\frac{1}{10})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{9}{10}×\frac{11}{10}=\frac{1}{2}×\frac{11}{10}=\frac{11}{20}$
(3)$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99×100}$
$=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}$
$=\frac{4949}{19800}$
9. (1)要使等式“$(16×☆-☆÷\frac{1}{7})×3= 51$”成立,則☆所代表的數(shù)是(
$\frac{17}{9}$
)。
(2)明明在計算$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)$時,因為漏看了括號,這樣算出的結果與正確的結果相差$\frac{3}{20}$,則☆所表示的數(shù)是(
$\frac{1}{4}$
)。
答案：
(1)$\frac{17}{9}$ 提示:設☆所代表的數(shù)是x。$(16x-x÷\frac{1}{7})×3=51$,解得$x=\frac{17}{9}$。
(2)$\frac{1}{4}$ 提示:根據(jù)乘法分配律可知,$\frac{2}{5}×(\frac{5}{8}+☆)=\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+\frac{2}{5}×☆$,而明明計算時漏看了括號,他計算的算式是$\frac{2}{5}×\frac{5}{8}+☆$,通過比較可以發(fā)現(xiàn),$☆-\frac{2}{5}×☆=\frac{3}{20}$,可得$☆=\frac{1}{4}$。
10. (1)A、B、C三個分數(shù),它們的分子和分母都是自然數(shù),并且分子的比是$3:2:1$,分母的比是$2:3:4$,三個分數(shù)的和是$\frac{29}{60}$,則$A - B - C= $
$\frac{7}{60}$
。
(2)三個連續(xù)偶數(shù),最大的偶數(shù)是這三個數(shù)和的$\frac{2}{5}$,這三個偶數(shù)分別是
8
、
10
和
12
。
答案：
(1)$\frac{7}{60}$ 提示:三個分數(shù)分子的比是$3:2:1$,分母的比是$2:3:4$,則分數(shù)值的比是$(3÷2):(2÷3):(1÷4)=18:8:3$,再根據(jù)按比分配的方法可知,$A-B-C=\frac{29}{60}×(\frac{18}{18+8+3}-\frac{8}{18+8+3}-\frac{3}{18+8+3})=\frac{29}{60}×\frac{7}{29}=\frac{7}{60}$。
(2)8 10 12 提示:每相鄰兩個偶數(shù)相差$2$,三個連續(xù)偶數(shù)中,中間一個偶數(shù)是這三個數(shù)和的$\frac{1}{3}$,而最大的偶數(shù)是這三個數(shù)和的$\frac{2}{5}$,因此$2$是這三個數(shù)和的$\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$,可以知道三個連續(xù)偶數(shù)的和是$2÷\frac{1}{15}=30$。$30×\frac{2}{5}=12$,$30×\frac{1}{3}=10$,$30-12-10=8$,故這三個偶數(shù)分別是$8$?$10$?$12$。
11. 粉刷一間教室,甲單獨做需要24小時完成,乙單獨做需要30小時完成。現(xiàn)在甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時,乙工作2小時；甲工作2小時,乙工作1小時；甲工作1小時,乙工作2小時……如此交替下去,粉刷完這間教室需要用多少小時？
答案：每經(jīng)過一個周期,兩人完成的工作量$:(\frac{1}{24}+\frac{1}{30})×(1+2)=\frac{9}{40} $周期的個數(shù)$:1÷\frac{9}{40}=4\frac{4}{9}($個)經(jīng)過4個周期后,兩人完成的工作總量$:\frac{9}{40}×4=\frac{9}{10}$經(jīng)過4個周期后,剩下的工作量$:1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$因為$\frac{1}{10}＞\frac{1}{24},\frac{1}{10}-\frac{1}{24}=\frac{7}{120},\frac{1}{30}×2=\frac{1}{15},\frac{1}{15}＞\frac{7}{120},$所以甲工作1小時后,剩下的工作量乙需要工作$\frac{7}{120}÷\frac{1}{30}=\frac{7}{4}($小時) 粉刷完這間教室需要用的時間$:6×4+1+\frac{7}{4}=26\frac{3}{4}($小時) 提示:在周期工程問題中,完成工作的事物是按一定順序輪流工作的?解題時,要先明確一個周期的工作量,然后利用周期性規(guī)律,求出對應的工作時間,同時要注意不滿一個周期工作量所需的工作時間?甲每小時完成粉刷任務$の\frac{1}{24},$乙每小時完成粉刷任務$の\frac{1}{30},$兩人輪流工作,可以把6小時の工作時間看作一個周期,在每一個周期中,甲?乙都工作了3小時?先求出一個周期の工作總量及粉刷完這間教室需要の周期個數(shù),再求出剩下の工作量需要甲和乙各自工作の時間,從而求出粉刷完這間教室需要用の時間?
解析：
甲每小時完成工作量：$\frac{1}{24}$，乙每小時完成工作量：$\frac{1}{30}$。
一個周期為6小時（甲1小時+乙2小時+甲2小時+乙1小時），周期內甲工作$1+2=3$小時，乙工作$2+1=3$小時。
一個周期完成工作量：$3×\frac{1}{24}+3×\frac{1}{30}=3×(\frac{5}{120}+\frac{4}{120})=3×\frac{9}{120}=\frac{9}{40}$。
周期個數(shù)：$1÷\frac{9}{40}=4\frac{4}{9}$（個），取整為4個周期。
4個周期完成工作量：$4×\frac{9}{40}=\frac{9}{10}$，剩余工作量：$1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$。
4個周期用時：$4×6=24$小時。
剩余工作量由甲先工作1小時：完成$\frac{1}{24}$，剩余工作量：$\frac{1}{10}-\frac{1}{24}=\frac{12}{120}-\frac{5}{120}=\frac{7}{120}$。
剩余工作量由乙完成需時：$\frac{7}{120}÷\frac{1}{30}=\frac{7}{120}×30=\frac{7}{4}$小時。
總用時：$24+1+\frac{7}{4}=25+\frac{7}{4}=\frac{100}{4}+\frac{7}{4}=\frac{107}{4}=26\frac{3}{4}$小時。
答：粉刷完這間教室需要用$26\frac{3}{4}$小時。
12. 計算：$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$。
答案：設$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=a$,$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=b$,則$a-b=1$。
原式$=a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})×b=\frac{1}{5}(a-b)=\frac{1}{5}$。
提示:不妨將$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$用$a$表示,$將\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}用b$表示。原式就可以轉換成$a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})×b=ab+\frac{1}{5}a-ab-\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}a-\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}(a-b)$,因為$a-b=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=1$,所以原式$=\frac{1}{5}$。
