四、操作題。
16 個釘子在木板上釘成 $ 4 × 4 $ 的方陣,以其中的 4 個釘子為頂點(diǎn)用橡皮筋圍成正方形,小明圍了如圖所示的一個正方形,想一想,一共可以圍成多少個不同的正方形?
答案：20個 提示:
這樣的有9個;
這樣的有4個;
這樣的有1個;
這樣的有4個;小明所圍那樣的有2個，共20個。
1. $ A $ 和 $ B $ 都是自然數(shù),且 $ A + B = 15 $,則 $ A $ 和 $ B $ 相乘的積最大是多少?
答案：7×8=56
解析：
當(dāng)兩個自然數(shù)的和一定時，這兩個數(shù)越接近，它們的乘積越大。因?yàn)?A + B = 15$，所以當(dāng)$A = 7$，$B = 8$時，兩數(shù)最接近。此時$A × B = 7 × 8 = 56$。
56
2. 足球比賽,勝一場得 3 分,平一場得 1 分,輸一場得 0 分,育才小學(xué)足球隊已經(jīng)比賽了 2 場,最多得多少分? 一共有多少種不同的得分情況?
答案：6分 6種
解析：
最多得分：$3 + 3 = 6$分
不同得分情況：
兩場全勝：$3 + 3 = 6$分
一勝一平：$3 + 1 = 4$分
一勝一輸：$3 + 0 = 3$分
兩場平局：$1 + 1 = 2$分
一平一輸：$1 + 0 = 1$分
兩場全輸：$0 + 0 = 0$分
共6種不同得分情況。
6分 6種
3. 小方有 1 元、5 元和 10 元的人民幣各一張,媽媽有 5 元、10 元和 100 元的人民幣各一張。每人各拿出一張,一共可以組成多少種不同的幣值?
答案：8種
解析：
小方可能拿出：1元、5元、10元
媽媽可能拿出：5元、10元、100元
所有組合及幣值：
1+5=6元
1+10=11元
1+100=101元
5+5=10元
5+10=15元
5+100=105元
10+5=15元
10+10=20元
10+100=110元
不同幣值：6元、10元、11元、15元、20元、101元、105元、110元
共8種
4. 袁夏從少年宮出發(fā)經(jīng)過郵局去圖書館,如果只向東走或向北走,一共有多少種不同的走法?
答案：6種
5. 有 9 厘米、7 厘米、5 厘米、4 厘米、12 厘米的小棒各一根,從中任意選三根,有多少種不同的選法? 如果把選出的三根小棒圍成三角形,有多少種圍法?
答案：10種 6種
解析：
從5根小棒中選3根的組合數(shù)：
$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10$
具體組合：(9,7,5)、(9,7,4)、(9,7,12)、(9,5,4)、(9,5,12)、(9,4,12)、(7,5,4)、(7,5,12)、(7,4,12)、(5,4,12)
能圍成三角形的組合（滿足兩邊之和大于第三邊）：
(9,7,5)：$9+7＞5$，$9+5＞7$，$7+5＞9$
(9,7,4)：$9+7＞4$，$9+4＞7$，$7+4＞9$
(9,7,12)：$9+7＞12$，$9+12＞7$，$7+12＞9$
(7,5,4)：$7+5＞4$，$7+4＞5$，$5+4＞7$
(9,5,12)：$9+5＞12$，$9+12＞5$，$5+12＞9$
(7,5,12)：$7+5=12$，不滿足
(9,4,12)：$9+4=13＞12$，$9+12＞4$，$4+12＞9$
(5,4,12)：$5+4=9＜12$，不滿足
綜上，不同選法10種，能圍成三角形的6種。
10種 6種
6. 布袋中有 1 個紅球、2 個黃球、3 個綠球,小明從袋中任意摸出 3 個球,可能會得到 3 個什么顏色的球? (列舉出所有的可能)
答案：摸出一種顏色的球:3個綠球;摸出兩種顏色的球:1個紅球和2個黃球,1個紅球和2個綠球,1個黃球和2個綠球,2個黃球和1個綠球;摸出三種顏色的球:1個紅球、1個黃球和1個綠球。
7. 王叔叔家的新房裝修結(jié)束,工人在他家的客廳里設(shè)置了三盞燈的位置。王叔叔到燈具店選購了紅、黃、藍(lán)、綠、紫五種顏色的燈各一盞。一共有多少種不同的安裝燈的方法?
答案：10×6=60(種)
解析：
從五種顏色中選三盞燈的選法：$\text{C}_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3!}{3!×2×1}=10$（種）
選出的三盞燈安裝在三個位置的排法：$\text{A}_{3}^{3}=3!=3×2×1=6$（種）
總安裝方法：$10×6=60$（種）
60
強(qiáng)基直通車 從 1 到 100 的自然數(shù)中,每次取兩個數(shù),要使它們的和大于 100,共有多少種取法?
答案：2500種 提示:根據(jù)題意,如果每次取出2個數(shù)的和大于100,那么兩個數(shù)中至少有一個大于50,即可以分兩種情況討論:①若取出的2個數(shù)都大于50,就是從50個數(shù)中任意取2個數(shù),則有50×49÷2=1225(種)取法。②若取出的2個數(shù)有一個小于或等于50,當(dāng)取1時,另1個數(shù)只能取100,有1種取法;當(dāng)取2時,另1個數(shù)只能取100或99,有2種取法……當(dāng)取50時,另1個數(shù)只能取100,99,98,…,51中的一個,有50種取法,所以共有1+2+3+…+50=50×51÷2=1275(種)取法。綜合①②可得,共有1225+1275=2500(種)取法。
解析：
①兩個數(shù)都大于50時，從51到100這50個數(shù)中取2個數(shù)，取法有$\frac{50×49}{2}=1225$種。
②一個數(shù)小于或等于50，另一個數(shù)大于50時：
取1時，另一個數(shù)只能取100，有1種取法；
取2時，另一個數(shù)可取100、99，有2種取法；
……
取50時，另一個數(shù)可取51到100，有50種取法。
共有$1+2+\cdots+50=\frac{50×51}{2}=1275$種取法。
綜合①②，總?cè)》ㄓ?1225+1275=2500$種。
2500
