2.閱讀兩位同學(xué)的探究交流過程:
a.小明在做分式運算時發(fā)現(xiàn)一個等式,并對它進(jìn)行了證明:
$\frac {x+2}{x+3}-\frac {x+1}{x+2}= \frac {1}{x+2}-\frac {1}{x+3}$;①
b.小明嘗試寫出了符合這個特征的其他幾個等式:
$\frac {x+3}{x+4}-\frac {x+2}{x+3}= \frac {1}{x+3}-\frac {1}{x+4}$;②
$\frac {x+4}{x+5}-\frac {x+3}{x+4}= \frac {1}{x+4}-\frac {1}{x+5}$;③
$\frac {x+5}{x+6}-\frac {x+4}{x+5}= \frac {1}{x+5}-\frac {1}{x+6}$;④
……
c.小明邀請同學(xué)小亮根據(jù)上述規(guī)律寫出第⑤個等式和第?個等式(用含n的式子表示,n為正整數(shù));
d.小亮對第?個等式進(jìn)行了證明.
解答下列問題:
(1)第⑤個等式是______
$\frac{x + 6}{x + 7}-\frac{x + 5}{x + 6}=\frac{1}{x + 6}-\frac{1}{x + 7}$
;
(2)第?個等式是______
$\frac{x + n + 1}{x + n + 2}-\frac{x + n}{x + n + 1}=\frac{1}{x + n + 1}-\frac{1}{x + n + 2}$
;
(3)請你證明第?個等式成立.
解(證明)：
左邊$=\frac{x + n + 1}{x + n + 2}-\frac{x + n}{x + n + 1}$
$=\frac{(x + n + 1)^2-(x + n)(x + n + 2)}{(x + n + 2)(x + n + 1)}$
根據(jù)完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和多項式乘法法則$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$展開分子：
$(x + n + 1)^2=x^2+2(n + 1)x+(n + 1)^2=x^2+2nx+2x+n^2+2n + 1$
$(x + n)(x + n + 2)=x^2+(n + 2)x+n(x + n + 2)=x^2+nx+2x+n^2+2n$
則分子$(x + n + 1)^2-(x + n)(x + n + 2)=x^2+2nx+2x+n^2+2n + 1-(x^2+nx+2x+n^2+2n)=1$
所以左邊$=\frac{1}{(x + n + 2)(x + n + 1)}$
右邊$=\frac{1}{x + n + 1}-\frac{1}{x + n + 2}=\frac{x + n + 2-(x + n)}{(x + n + 1)(x + n + 2)}=\frac{1}{(x + n + 2)(x + n + 1)}$
左邊$=$右邊，所以第$?$個等式成立。
