1. 已知$x＞0$,且$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}-2(x+\frac {1}{x})-1= 0$,則$(x-\frac {1}{x})^{2}$的值為
5
。
答案：1. 首先，對$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$進(jìn)行變形：
根據(jù)完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2$。
已知$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x+\frac{1}{x})-1 = 0$，將$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2$代入方程中，得到$(x+\frac{1}{x})^{2}-2-2(x + \frac{1}{x})-1 = 0$。
設(shè)$t=x+\frac{1}{x}(x\gt0)$，則方程變?yōu)?t^{2}-2t - 3 = 0$。
2. 然后，解關(guān)于$t$的一元二次方程：
對于一元二次方程$at^{2}+bt + c = 0(a\neq0)$，這里$a = 1$，$b=-2$，$c = - 3$，根據(jù)求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，或者因式分解法。
對$t^{2}-2t - 3 = 0$進(jìn)行因式分解，根據(jù)$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，$t^{2}-2t - 3=(t - 3)(t+1)=0$。
解得$t_{1}=3$，$t_{2}=-1$。
因為$x\gt0$，根據(jù)均值不等式$x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2$（當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{x}$，即$x = 1$時取等號），所以$t=x+\frac{1}{x}=3$。
3. 最后，求$(x-\frac{1}{x})^{2}$的值：
根據(jù)完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}=(x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}})-4$。
又因為$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$，已知$x+\frac{1}{x}=3$，所以$(x+\frac{1}{x})^{2}=9$。
則$(x-\frac{1}{x})^{2}=(x+\frac{1}{x})^{2}-4$。
把$x+\frac{1}{x}=3$代入$(x-\frac{1}{x})^{2}=(x+\frac{1}{x})^{2}-4$，得$(x-\frac{1}{x})^{2}=9 - 4=5$。
故$(x-\frac{1}{x})^{2}$的值為$5$。
2. 已知$a^{2}-3a+1= 0$,求下列各式的值：
(1)$a^{2}+\frac {1}{a^{2}}$；(2)$a-\frac {1}{a}$；(3)$a^{4}+\frac {1}{a^{4}}$。
答案：1. （1）
已知$a^{2}-3a + 1 = 0$，因為$a\neq0$（若$a = 0$，方程$a^{2}-3a + 1 = 0$不成立），方程兩邊同時除以$a$得：$a-3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$。
根據(jù)完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$，對于$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$，有$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a + \frac{1}{a})^{2}-2$。
把$a+\frac{1}{a}=3$代入上式得：$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=3^{2}-2=9 - 2=7$。
2. （2）
根據(jù)完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，$(a-\frac{1}{a})^{2}=a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}$。
由（1）知$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$，所以$(a - \frac{1}{a})^{2}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2$。
把$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$代入得$(a-\frac{1}{a})^{2}=7 - 2=5$，則$a-\frac{1}{a}=\pm\sqrt{5}$。
3. （3）
根據(jù)完全平方公式$(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$，對于$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}$，有$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})^{2}-2$。
由（1）知$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$，把$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$代入上式得：$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=7^{2}-2=49 - 2=47$。
綜上，（1）$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值為$7$；（2）$a-\frac{1}{a}$的值為$\pm\sqrt{5}$；（3）$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}$的值為$47$。
3. (2024 春·鼓樓區(qū)期中)觀察下列方程以及解的特征：
①$x+\frac {1}{x}= 2+\frac {1}{2}的解為x_{1}= 2,x_{2}= \frac {1}{2}$；
②$x+\frac {1}{x}= 3+\frac {1}{3}的解為x_{1}= 3,x_{2}= \frac {1}{3}$；
③$x+\frac {1}{x}= 4+\frac {1}{4}的解為x_{1}= 4,x_{2}= \frac {1}{4}$；
…
(1)猜想關(guān)于$x的方程x+\frac {1}{x}= m+\frac {1}{m}$的解,并利用“方程解的概念”進(jìn)行驗證。
(2)利用(1)的結(jié)論解下列分式方程：
①$y^{3}+\frac {1}{y^{3}}= \frac {65}{8}$；
②$x+\frac {1}{4x-8}= \frac {a^{2}+4a+1}{2a}$。
答案：$(1)$ 猜想方程的解并驗證
- **猜想解**：
根據(jù)已知方程及其解的特征，猜想方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解為$x_{1}=m$，$x_{2}=\frac{1}{m}$。
- **驗證**：
當(dāng)$x = m$時，左邊$=m+\frac{1}{m}$，右邊$=m+\frac{1}{m}$，左邊$=$右邊，所以$x = m$是方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解。
當(dāng)$x=\frac{1}{m}$時，左邊$=\frac{1}{m}+\frac{1}{\frac{1}{m}}=\frac{1}{m}+m$，右邊$=m+\frac{1}{m}$，左邊$=$右邊，所以$x=\frac{1}{m}$是方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解。
$(2)$ 解分式方程
- **① 解方程$y^{3}+\frac{1}{y^{3}}=\frac{65}{8}$
將方程變形為$y^{3}+\frac{1}{y^{3}} = 8+\frac{1}{8}$，令$t = y^{3}$，則原方程變?yōu)?t+\frac{1}{t}=8+\frac{1}{8}$。
根據(jù)$(1)$的結(jié)論，可得$t_{1}=8$，$t_{2}=\frac{1}{8}$。
當(dāng)$t = 8$時，即$y^{3}=8$，解得$y = 2$。
當(dāng)$t=\frac{1}{8}$時，即$y^{3}=\frac{1}{8}$，解得$y=\frac{1}{2}$。
經(jīng)檢驗，$y = 2$和$y=\frac{1}{2}$都是原方程的解。
- **② 解方程$x+\frac{1}{4x - 8}=\frac{a^{2}+4a + 1}{2a}$
先將方程變形：
$\begin{aligned}x+\frac{1}{4x - 8}&=\frac{a^{2}+4a + 1}{2a}\\x - 2+\frac{1}{4(x - 2)}&=\frac{a^{2}+4a + 1}{2a}-2\\x - 2+\frac{1}{4(x - 2)}&=\frac{a^{2}+4a + 1-4a}{2a}\\x - 2+\frac{1}{4(x - 2)}&=\frac{a^{2}+1}{2a}\\x - 2+\frac{1}{4(x - 2)}&=\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}\end{aligned}$
令$z=x - 2$，則方程變?yōu)?z+\frac{1}{4z}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}$，兩邊同時乘以$4$得$4z+\frac{1}{z}=2a+\frac{2}{a}$。
根據(jù)$(1)$的結(jié)論，可得$4z_{1}=2a$，$4z_{2}=\frac{2}{a}$。
當(dāng)$4z = 2a$時，$z=\frac{a}{2}$，即$x - 2=\frac{a}{2}$，解得$x=\frac{a}{2}+2=\frac{a + 4}{2}$。
當(dāng)$4z=\frac{2}{a}$時，$z=\frac{1}{2a}$，即$x - 2=\frac{1}{2a}$，解得$x=\frac{1}{2a}+2=\frac{1 + 4a}{2a}$。
經(jīng)檢驗，$x=\frac{a + 4}{2}$和$x=\frac{1 + 4a}{2a}$都是原方程的解。
綜上，$(1)$方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解為$\boldsymbol{x_{1}=m}$，$\boldsymbol{x_{2}=\frac{1}{m}}$；$(2)$①方程的解為$\boldsymbol{y_{1}=2}$，$\boldsymbol{y_{2}=\frac{1}{2}}$；②方程的解為$\boldsymbol{x_{1}=\frac{a + 4}{2}}$，$\boldsymbol{x_{2}=\frac{1 + 4a}{2a}}$。
