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零五網(wǎng) › 全部參考答案› 啟東中學(xué)作業(yè)本 › 2025年啟東中學(xué)作業(yè)本八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)人教版 第178頁解析答案
24. (8分)如圖,已知$△ABC和△CDE$均為等邊三角形,且點(diǎn)B,C,D在同一條直線上,連接AD,BE,分別交CE和AC于點(diǎn)G,H,連接GH.
(1)求證：$AD= BE$；
(2)求證：$△BCH\cong △ACG$；
(3)試猜想$△CGH$是什么特殊的三角形,并說明理由.

答案：(1) 證明：∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,∴∠ACD=∠ECB,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2) 證明：∵△ACD≌△BCE,∴∠CBH=∠CAG.∵∠ACB=∠ECD=60°，點(diǎn)B,C,D在同一條直線上，∴∠ACB=∠ECD=∠ACG=60°.又∵BC=AC,∴△BCH≌△ACG.(3) 解：△CGH是等邊三角形.理由如下：∵△BCH≌△ACG,∴CH=CG.又∵∠ACG=60°,∴△CGH是等邊三角形.
解析：
(1) 證明：∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ACD=∠ECB \\ DC=EC \end{cases}$，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2) 證明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH=∠CAG，
∵∠ACB=∠ECD=60°，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，
∴∠ACG=180°-∠ACB-∠ECD=60°，即∠ACB=∠ACG=60°，
在△BCH和△ACG中，
$\begin{cases} ∠CBH=∠CAG \\ BC=AC \\ ∠BCH=∠ACG \end{cases}$，
∴△BCH≌△ACG(ASA)。
(3) 解：△CGH是等邊三角形。理由如下：
∵△BCH≌△ACG，
∴CH=CG，
又∵∠ACG=60°，
∴△CGH是等邊三角形。
25. (8分)定義：若數(shù)p可以表示成$p= x^{2}+y^{2}-xy$(x,y為自然數(shù))的形式,則稱p為“希爾伯特”數(shù).
例如：$3= 2^{2}+1^{2}-2×1,39= 7^{2}+5^{2}-7×5,147= 13^{2}+11^{2}-13×11,…$.所以3,39,147是“希爾伯特”數(shù).
(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)10以內(nèi)的“希爾伯特”數(shù)；
(2)像39,147這樣的“希爾伯特”數(shù)都是可以用連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)按定義給出的運(yùn)算表達(dá)出來,試說明所有用連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)表達(dá)出來的“希爾伯特”數(shù)一定能被4除余3；
(3)已知兩個(gè)“希爾伯特”數(shù),它們都可以用連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)按定義給出的運(yùn)算表達(dá)出來,且它們的差是224,求這兩個(gè)“希爾伯特”數(shù).
答案：(1) 解：答案不唯一，如4，7是“希爾伯特”數(shù).(2) 解：設(shè)用連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)表達(dá)出來的“希爾伯特”數(shù)為(2n + 1)2 + (2n - 1)2 - (2n + 1)(2n - 1)（n為自然數(shù)）.∵(2n + 1)2 + (2n - 1)2 - (2n + 1)(2n - 1)=4n2 + 3,又4n2能被4整除，∴所有用連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)表達(dá)出來的“希爾伯特”數(shù)一定能被4除余3.(3) 解：設(shè)這兩個(gè)“希爾伯特”數(shù)分別為(2m + 1)2 + (2m - 1)2 - (2m + 1)(2m - 1)和(2n + 1)2 + (2n - 1)2 - (2n + 1)(2n - 1)（m,n為自然數(shù)）.由題意，得(2m + 1)2 + (2m - 1)2 - (2m + 1)(2m - 1)-[(2n + 1)2 + (2n - 1)2 - (2n + 1)(2n - 1)]=224,∴m2 - n2=56,∴(m + n)(m - n)=56,可得整數(shù)解{m=9,n=5}或{m=15,n=13,}∴這兩個(gè)“希爾伯特”數(shù)分別為327和103或903和679.
解析：
(1) 解：答案不唯一，如0，1是“希爾伯特”數(shù)。
（注：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，p=02+02-0×0=0；當(dāng)x=1,y=0時(shí)，p=12+02-1×0=1；當(dāng)x=1,y=1時(shí)，p=12+12-1×1=1；當(dāng)x=2,y=0時(shí)，p=22+02-2×0=4；當(dāng)x=2,y=1時(shí)，p=22+12-2×1=3；當(dāng)x=2,y=2時(shí)，p=22+22-2×2=4；當(dāng)x=3,y=0時(shí)，p=32+02-3×0=9；當(dāng)x=3,y=1時(shí)，p=32+12-3×1=7；當(dāng)x=3,y=2時(shí)，p=32+22-3×2=7；當(dāng)x=3,y=3時(shí)，p=32+32-3×3=9。10以內(nèi)的“希爾伯特”數(shù)有0,1,3,4,7,9，任選兩個(gè)即可。）
(2) 解：設(shè)連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)為2n+1和2n-1（n為自然數(shù)）。
則p=(2n+1)2+(2n-1)2-(2n+1)(2n-1)
=4n2+4n+1+4n2-4n+1-(4n2-1)
=4n2+3
∵4n2能被4整除，∴4n2+3被4除余3。
即所有用連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)表達(dá)出來的“希爾伯特”數(shù)一定能被4除余3。
(3) 解：設(shè)兩個(gè)“希爾伯特”數(shù)對(duì)應(yīng)的連續(xù)奇數(shù)分別為2m+1,2m-1和2n+1,2n-1（m,n為自然數(shù)，m＞n）。
由(2)知兩數(shù)分別為4m2+3和4n2+3。
依題意：(4m2+3)-(4n2+3)=224
化簡(jiǎn)得m2-n2=56，即(m+n)(m-n)=56。
∵m+n與m-n均為正整數(shù)，且m+n＞m-n，m+n與m-n同奇偶。
56=56×1=28×2=14×4
解得：
$\begin{cases}m+n=28\\m-n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m+n=14\\m-n=4\end{cases}$
分別解得$\begin{cases}m=15\\n=13\end{cases}$或$\begin{cases}m=9\\n=5\end{cases}$
當(dāng)m=15,n=13時(shí)，兩數(shù)為4×152+3=903，4×132+3=679；
當(dāng)m=9,n=5時(shí)，兩數(shù)為4×92+3=327，4×52+3=103。
∴這兩個(gè)“希爾伯特”數(shù)分別為903和679或327和103。
26. (8分)已知$△ABC和△ADE$都是等邊三角形,點(diǎn)M,N分別是AB,AC邊上的定點(diǎn),且$MN// BC$,點(diǎn)D在射線MN上移動(dòng),如圖①,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)N也重合,此時(shí)易得$BD= CE$.
(1)如圖②,當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)M重合時(shí),BD和CE仍相等嗎？若相等,請(qǐng)寫出證明過程；若不相等,請(qǐng)說明理由.
解：$BD = CE$。
證明：因?yàn)?\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等邊三角形，所以$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$。
則$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$。
根據(jù)$SAS$（邊角邊）定理，可得$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE$。

(2)如圖③,延長(zhǎng)BD,CE交于點(diǎn)P,隨著點(diǎn)D的移動(dòng),BD與CE的夾角$∠BPC$是否發(fā)生改變？若不變,請(qǐng)求出其度數(shù)；若改變,請(qǐng)說明理由.
解：$\angle BPC$不發(fā)生改變。
由（1）知$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$\angle ABD=\angle ACE$。
因?yàn)?\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)$，$\angle PBC+\angle PCB=\angle ABC - \angle ABD+\angle ACB+\angle ACE$，又$\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ABD=\angle ACE$。
所以$\angle PBC+\angle PCB=\angle ABC+\angle ACB = 120^{\circ}$。
則$\angle BPC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。

(3)如圖④,在$△ABC$中,$AB= BC,∠ABC= 90^{\circ }$,D為AB的中點(diǎn),E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),以DE為邊,向右作等邊$△DEF$,連接AF.若$AB= 6$,則AF的最小值為______,此時(shí)$∠FAD= $______$^{\circ }$.
$\frac {9}{2}$
60

答案：1. （1）
解：$BD = CE$。
證明：因?yàn)?\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等邊三角形，所以$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$。
則$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$。
根據(jù)$SAS$（邊角邊）定理，可得$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE$。
2. （2）
解：$\angle BPC$不發(fā)生改變。
由（1）知$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$\angle ABD=\angle ACE$。
因?yàn)?\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)$，$\angle PBC+\angle PCB=\angle ABC - \angle ABD+\angle ACB+\angle ACE$，又$\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ABD=\angle ACE$。
所以$\angle PBC+\angle PCB=\angle ABC+\angle ACB = 120^{\circ}$。
則$\angle BPC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
3. （3）
$\frac {9}{2}$  60
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