1. $(1 + y)(1 - y)= $ (
C
)
A.$1 + y^{2}$
B.$-1 - y^{2}$
C.$1 - y^{2}$
D.$-1 + y^{2}$
答案：C
解析：
$(1 + y)(1 - y) = 1^2 - y^2 = 1 - y^2$
C
2. (2024春·順德區(qū)月考)下列多項式乘法中,可以用平方差公式計算的是 (
B
)
A.$(x + 2y)(2x - y)$
B.$(x^{2}+y)(x^{2}-y)$
C.$(-x + y)(x - y)$
D.$(x + y)(y + x)$
答案：B
解析：
平方差公式為$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，需滿足兩個因式中一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。
選項A：$(x + 2y)(2x - y)$，各項均不同，不符合。
選項B：$(x^{2}+y)(x^{2}-y)$，$x^{2}$相同，$y$與$-y$互為相反數(shù)，符合。
選項C：$(-x + y)(x - y)=-(x - y)(x - y)$，兩項均互為相反數(shù)，不符合。
選項D：$(x + y)(y + x)=(x + y)^{2}$，兩項完全相同，不符合。
B
3. (1)$(x + 2y)(-x + 2y)=$
$4y^{2}-x^{2}$
； (2)$(-1 - 3x)$(
$-1+3x$
)$=1 - 9x^{2}$；
(3)$(-a + 2b)$(
$-a-2b$
)$=a^{2}-4b^{2}$； (4)$(-2a^{2}-5b)$(
$-2a^{2}+5b$
)$=4a^{4}-25b^{2}$.
答案：
(1)$4y^{2}-x^{2}$；
(2)$-1+3x$；
(3)$-a-2b$；
(4)$-2a^{2}+5b$
4. 若$a^{2}-2a - 1 = 0$,則代數(shù)式$(a + 2)(a - 2)-2a$的值為
-3
.
答案：-3
解析：
$(a + 2)(a - 2)-2a$
$=a^{2}-4 - 2a$
$=a^{2}-2a - 4$
因為$a^{2}-2a - 1 = 0$，所以$a^{2}-2a=1$。
將$a^{2}-2a=1$代入$a^{2}-2a - 4$，得$1 - 4=-3$。
-3
5. 計算:
(1)$(3y + 2x)(2x - 3y)$； (2)$(x - 2y^{2})(-2y^{2}-x)$；
(3)$(4x^{2}y-\frac{1}{2})(4x^{2}y+\frac{1}{2})$； (4)$(5a^{2}b - 2cd^{2})(5a^{2}b + 2cd^{2})$.
答案：
(1)$4x^{2}-9y^{2}$；
(2)$4y^{4}-x^{2}$；
(3)$16x^{4}y^{2}-\frac {1}{4}$；
(4)$25a^{4}b^{2}-4c^{2}d^{4}$
6. 若$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)= 35$,則$a^{2}+b^{2}= $ (
B
)
A.3
B.6
C.$\pm3$
D.$\pm6$
答案：B
解析：
設(shè)$x = a^{2} + b^{2}$，則原方程可化為$(x + 1)(x - 1) = 35$。
展開得$x^{2} - 1 = 35$，即$x^{2} = 36$，解得$x = \pm 6$。
因為$a^{2} + b^{2} \geq 0$，所以$x = 6$，即$a^{2} + b^{2} = 6$。
B
7. 一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差,則稱這個正整數(shù)為“創(chuàng)新數(shù)”,例如,$27 = 6^{2}-3^{2}$,$63 = 8^{2}-1^{2}$,故27,63都是“創(chuàng)新數(shù)”,下列各數(shù)中,不是“創(chuàng)新數(shù)”的是 (
D
)
A.31
B.41
C.16
D.54
答案：D
解析：
設(shè)正整數(shù)$ n = a^2 - b^2$，其中$ a ＞ b$且$ a,b$為正整數(shù)，則$ n=(a - b)(a + b)$。$ a - b$與$ a + b$同奇同偶，且$ a - b ＜ a + b$。
A. 31：31為質(zhì)數(shù)，$ 31=1×31$。$ a - b=1$，$ a + b=31$，解得$ a=16$，$ b=15$，$ 31=16^2 - 15^2$，是創(chuàng)新數(shù)。
B. 41：41為質(zhì)數(shù)，$ 41=1×41$。$ a - b=1$，$ a + b=41$，解得$ a=21$，$ b=20$，$ 41=21^2 - 20^2$，是創(chuàng)新數(shù)。
C. 16：$ 16=2×8$（同偶）。$ a - b=2$，$ a + b=8$，解得$ a=5$，$ b=3$，$ 16=5^2 - 3^2$，是創(chuàng)新數(shù)。
D. 54：54分解因數(shù)：$ 1×54$（奇偶異）、$ 2×27$（奇偶異）、$ 3×18$（奇偶異）、$ 6×9$（奇偶異），均不同奇同偶，無法表示為兩正整數(shù)平方差，不是創(chuàng)新數(shù)。
D
8. 計算$3(2^{2}+1)(2^{4}+1)…(2^{32}+1)+1$的結(jié)果的個位數(shù)字是 (
B
)
A.4
B.6
C.2
D.8
答案：B
解析：
原式$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{32}+1)+1$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)\cdots(2^{32}+1)+1$
$=(2^{8}-1)\cdots(2^{32}+1)+1$
$=2^{64}-1+1$
$=2^{64}$
$2^{1}=2$，個位數(shù)字2；$2^{2}=4$，個位數(shù)字4；$2^{3}=8$，個位數(shù)字8；$2^{4}=16$，個位數(shù)字6；$2^{5}=32$，個位數(shù)字2，周期為4。
$64÷4=16$，無余數(shù)，故$2^{64}$個位數(shù)字為6。
B
9. 如圖①,在邊長為$a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a ＞ b)$,把剩下部分沿圖①中的虛線剪開后重新拼成一個梯形(如圖②),利用這兩個圖形的面積,可以驗證的乘法公式是 (
D
)
A.$(a - b)^{2}= a^{2}-2ab + b^{2}$
B.$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$a(a + b)= a^{2}+ab$
D.$(a + b)(a - b)= a^{2}-b^{2}$
答案：D
解析：
圖①中陰影部分面積為$a^{2}-b^{2}$。
圖②梯形的上底為$2b$，下底為$2a$，高為$(a - b)$，面積為$\frac{(2b + 2a)(a - b)}{2}=(a + b)(a - b)$。
因為兩個圖形陰影部分面積相等，所以$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
D
