8.若關(guān)于x的多項(xiàng)式$2x+a與-x^{2}+bx-2$的乘積展開(kāi)式中沒(méi)有二次項(xiàng),且常數(shù)項(xiàng)為 20,求 a,b 的值.
答案：解:$(2x+a)(-x^{2}+bx-2)=-2x^{3}+(2b-a)x^{2}+(-4+ab)x-2a.$
∵展開(kāi)式中沒(méi)有二次項(xiàng),且常數(shù)項(xiàng)為20,$\therefore 2b-a=0,-2a=20,$$\therefore a=-10,b=-5.$
9.(2024 春·安慶期中)如圖,現(xiàn)有一塊長(zhǎng)$(4a+b)$米,寬$(a+2b)$米的長(zhǎng)方形地塊,規(guī)劃將陰影部分進(jìn)行綠化,中間預(yù)留部分是邊長(zhǎng)為a米的正方形.
(1)求綠化的面積 S(用含 a,b 的代數(shù)式表示,并化簡(jiǎn));
(2)若$a= 2,b= 3$,綠化成本為 100 元/平方米,則完成綠化共需要多少元?
答案：解:
(1)綠化的面積是$(4a+b)(a+2b)-a^{2}=(3a^{2}+9ab+2b^{2})$平方米.
(2)當(dāng)$a=2,b=3$時(shí),$100(3a^{2}+9ab+2b^{2})=100(3×2^{2}+9×2×3+2×3^{2})=8400$(元),即當(dāng)$a=2,b=3$時(shí),完成綠化共需要8400元.
10.甲、乙兩人同時(shí)計(jì)算一道整式乘法題:$(2x+a)\cdot (3x+b)$.甲由于抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中a的符號(hào),即把+a抄成了-a,得到的結(jié)果為$6x^{2}+11x-10$,乙由于抄漏了第二個(gè)多項(xiàng)式中 3x 的系數(shù),即把 3x 抄成了 x,得到的結(jié)果為$2x^{2}-9x+10$,請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法題的正確結(jié)果.
答案：解:$(2x-a)\cdot (3x+b)=6x^{2}+2bx-3ax-ab=6x^{2}+(2b-3a)x-ab,\therefore 2b-3a=11$ ①,$(2x+a)\cdot (x+b)=2x^{2}+2bx+ax+ab=2x^{2}+(2b+a)x+ab,\therefore 2b+a=-9$ ②,由①和②組成方程組$\left\{\begin{array}{l} 2b-3a=11,\\ 2b+a=-9,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-5,\\ b=-2,\end{array}\right. $$\therefore (2x-5)\cdot (3x-2)=6x^{2}-4x-15x+10=6x^{2}-19x+10.$
解析：
解：甲抄錯(cuò) $a$ 的符號(hào)，計(jì)算 $(2x - a)(3x + b)$，展開(kāi)得：
$\begin{aligned}(2x - a)(3x + b)&=6x^2 + 2bx - 3ax - ab\\&=6x^2 + (2b - 3a)x - ab\end{aligned}$
已知結(jié)果為 $6x^2 + 11x - 10$，故：
$2b - 3a = 11 \quad ①$
乙抄漏 $3x$ 的系數(shù)，計(jì)算 $(2x + a)(x + b)$，展開(kāi)得：
$\begin{aligned}(2x + a)(x + b)&=2x^2 + 2bx + ax + ab\\&=2x^2 + (2b + a)x + ab\end{aligned}$
已知結(jié)果為 $2x^2 - 9x + 10$，故：
$2b + a = -9 \quad ②$
聯(lián)立①②得方程組：
$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\2b + a = -9\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -5 \\b = -2\end{cases}$
正確式子為 $(2x - 5)(3x - 2)$，展開(kāi)得：
$\begin{aligned}(2x - 5)(3x - 2)&=6x^2 - 4x - 15x + 10\\&=6x^2 - 19x + 10\end{aligned}$
答：正確結(jié)果為 $6x^2 - 19x + 10$。
