1. 如圖,點 E,F 在 BC 上,$BE = CF$,$∠B = ∠C$,添加一個條件,不能證明$△ABF ≌ △DCE$的是(
D
)
A.$∠A = ∠D$
B.$∠AFB = ∠DEC$
C.$AB = DC$
D.$AF = DE$
答案：D
解析：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∠B=∠C，BF=CE。
A. 添加∠A=∠D，根據(jù)AAS可證△ABF≌△DCE；
B. 添加∠AFB=∠DEC，根據(jù)ASA可證△ABF≌△DCE；
C. 添加AB=DC，根據(jù)SAS可證△ABF≌△DCE；
D. 添加AF=DE，是SSA，不能證明△ABF≌△DCE。
D
2. 如圖,在$Rt△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,D 為 BC 上一點,連接 AD. 過點 B 作$BE ⊥ AD$于點 E,過點 C 作$CF ⊥ AD$交 AD 的延長線于點 F. 若$BE = 4$,$CF = 1$,則 EF 的長度為
3
.
答案：3
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=AC$，則$\angle ABC=\angle ACB=45^\circ$。
因為$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，所以$\angle AEB=\angle CFA=90^\circ$。
$\angle BAE + \angle EAC = 90^\circ$，$\angle EAC + \angle ACF = 90^\circ$，故$\angle BAE = \angle ACF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAF$中，
$\begin{cases}\angle AEB = \angle CFA \\\angle BAE = \angle ACF \\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABE \cong \triangle CAF(AAS)$。
則$AE=CF=1$，$AF=BE=4$。
因為$EF=AF - AE$，所以$EF=4 - 1=3$。
3
3. 如圖,D,E 兩點分別在 AB,AC 上,$AB = AC$,要使$△ABE ≌ △ACD$,只需添加一個條件,這個條件可以是
∠B=∠C(答案不唯一)
.
答案：∠B=∠C(答案不唯一)
4. (2024·鼓樓區(qū)模擬)如圖,在四邊形 ABCD 中,$AB // CD$,在 BD 上取兩點 E,F,使$DF = BE$,連接 AE,CF. 若$AE // CF$,試說明$△ABE ≌ △CDF$.
答案：證明:
∵AB//CD,
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE//CF,
∴∠AEB=∠CFD.
在△ABE和△CDF中,∠ABE=∠CDF,
BE=DF,
∠AEB=∠CFD,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
5. 如圖,已知 AD 是$△ABC$的中線,過點 C,B 分別作 AD 的垂線,垂足分別為 F,E,請完成以下問題.
(1)求證：$CF = BE$；
(2)若$△ACF$的面積為 28,$△CFD$的面積為 12,求$△ABE$的面積.
答案：
(1)證明:
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90°.
∵AD是△ABC的中線,
∴BD=CD.
在△CFD和△BED中,∠CFD=∠BED,
∠CDF=∠BDE,
CD=BD,
∴△CFD≌△BED(AAS).
∴CF=BE.
(2)解:
$∵S_{△ACF}=28,S_{△CFD}=12,$
$∴S_{△ACD}D=S_{△ACF}+S_{△CFD}=40.$
∵BD=CD,
$∴S_{△ABD}=S_{△ACD}=40.$
由
(1)得:△CFD≌△BED,
$∴S_{△CFD}=S_{△BED}=12,$
$∴S_{△ABE}=S_{△ABD}+S_{△BED}=40+12=52.$
